ID: 00005180
Два небольших массивных шара массами $m_1$ и $m_2$ закреплены на концах невесомого стержня АВ, лежащего горизонтально на опорах С и D. Длина стержня АВ L = 1,8 м, расстояние АС равно 0,8 м, а расстояние между опорами CD равно 0,6 м. Сила давления стержня на опору D в 2 раза больше, чем на опору С. Какова масса шара $m_2$, если масса шара $m_1$ = 5 кг? Сделайте рисунок с указанием внешних сил, действующих на систему тел «стержень и шары».
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Источник: ФИПИ
Дано: $L=AB=1{,}8$ м, $AC=0{,}8$ м, $CD=0{,}6$ м, $N_D=2N_C$, $m_1=5$ кг (в точке A).
Рассматриваем стержень с шарами как твёрдое тело в равновесии (ИСО, связанная с Землёй). На него действуют веса шаров $m_1 g$ (в A) и $m_2 g$ (в B) вниз и реакции опор $N_C$, $N_D$ вверх.
Равновесие по вертикали: $N_C+N_D=(m_1+m_2)g$. С учётом $N_D=2N_C$ получаем $3N_C=(m_1+m_2)g$, то есть $N_C=\dfrac{(m_1+m_2)g}{3}$, $N_D=\dfrac{2(m_1+m_2)g}{3}$.
Уравнение моментов относительно точки A (плечо $m_1$ равно нулю), $AD=AC+CD=1{,}4$ м:
$$N_C\cdot AC+N_D\cdot AD=m_2 g\cdot AB.$$
Подставив $N_C$ и $N_D$ и сократив $g$: $\dfrac{m_1+m_2}{3}(0{,}8+2\cdot1{,}4)=1{,}8\,m_2$, то есть $1{,}2(m_1+m_2)=1{,}8\,m_2$.
Отсюда $1{,}2 m_1=0{,}6\,m_2$, значит $m_2=2m_1=10$ кг.