ID: 00005179
К вертикальной стенке прислонена однородная доска, образующая с горизонтальным полом угол α - 45°. Коэффициент трения доски о пол равен 0,4. Каков должен быть коэффициент на трения доски о стену, чтобы доска оставалась в равновесии? Какие законы Вы используете для описания равновесия доски? Обоснуйте их применение.
Источник: ФИПИ
\alpha = 45°, \mu_1 = 0{,}4
\mu_2
Пусть N_1 — реакция пола (вверх), N_2 — реакция стены (горизонтально), L — длина доски.
1. Проекции сил:
\sum F_x = 0: \quad N_2 = \mu_1 N_1
\sum F_y = 0: \quad N_1 + \mu_2 N_2 = mg
2. Момент сил относительно нижнего конца доски (при \alpha = 45°: \sin\alpha = \cos\alpha):
N_2(1 + \mu_2) = \frac{mg}{2}
3. Из системы (N_2 = \dfrac{\mu_1 mg}{1 + \mu_1\mu_2}) и уравнения моментов:
2\mu_1(1+\mu_2) = 1 + \mu_1\mu_2
0{,}8 + 0{,}8\mu_2 = 1 + 0{,}4\mu_2 \implies \mu_2 = 0{,}5
\text{Ответ: } \mu_2 \ge \frac{1}{\mu_1} - 2 \operatorname{tg} \alpha = 0,5