ID: 00005179
К вертикальной стенке прислонена однородная доска, образующая с горизонтальным полом угол α - 45°. Коэффициент трения доски о пол равен 0,4. Каков должен быть коэффициент на трения доски о стену, чтобы доска оставалась в равновесии? Какие законы Вы используете для описания равновесия доски? Обоснуйте их применение.
Источник: ФИПИ
$\alpha = 45°$, $\mu_1 = 0{,}4$
$\mu_2$
Пусть $N_1$ — реакция пола (вверх), $N_2$ — реакция стены (горизонтально), $L$ — длина доски.
1. Проекции сил:
$$\sum F_x = 0: \quad N_2 = \mu_1 N_1$$
$$\sum F_y = 0: \quad N_1 + \mu_2 N_2 = mg$$
2. Момент сил относительно нижнего конца доски (при $\alpha = 45°$: $\sin\alpha = \cos\alpha$):
$$N_2(1 + \mu_2) = \frac{mg}{2}$$
3. Из системы ($N_2 = \dfrac{\mu_1 mg}{1 + \mu_1\mu_2}$) и уравнения моментов:
$$2\mu_1(1+\mu_2) = 1 + \mu_1\mu_2$$
$$0{,}8 + 0{,}8\mu_2 = 1 + 0{,}4\mu_2 \implies \mu_2 = 0{,}5$$
$\text{Ответ: } \mu_2 \ge \frac{1}{\mu_1} - 2 \operatorname{tg} \alpha = 0,5$