ID: 00005177
Однородный тонкий стержень массой m = 1 кг одним концом шарнирно прикреплён к потолку, а другим концом опирается на массивную горизонтальную доску, образуя с ней угол α = 30°. Под действием горизонтальной силы F доска движется поступательно влево с постоянной скоростью (см. рис.).
Стержень при этом неподвижен. Найдите F, если коэффициент трения стержня по доске μ = 0,2. Трением доски по опоре и трением в шарнире пренебречь.
Какие законы Вы используете для описания равновесия системы тел? Обоснуйте их применение к данному случаю.
Источник: ФИПИ
$M = 1$ кг (однородный стержень)
$\alpha = 30°$ (угол с горизонталью)
$\mu = 0{,}2$ (трение стержня по доске)
доска движется равномерно, $g = 10$ м/с²
$F$ — горизонтальную силу, движущую доску
Стержень одним концом висит на шарнире у потолка, другим лежит на доске. Чтобы он не вращался, моменты всех сил относительно шарнира должны уравновешиваться (момент — это «вращающее усилие», сила на плечо).
На стержень действуют: сила тяжести $Mg$ в середине, вертикальная реакция доски $N_1$ и сила трения $f = \mu N_1$ вдоль доски. Запишем уравнение моментов относительно шарнира O (стержень длиной $L$):
$$-Mg \cdot \frac{L}{2}\cos\alpha + N_1 \cdot L\cos\alpha + f \cdot L\sin\alpha = 0.$$
Доска скользит, поэтому трение предельное: $f = \mu N_1$. Подставляем и выносим $N_1$ за скобку:
$$Mg\frac{L}{2}\cos\alpha = N_1 L(\cos\alpha + \mu\sin\alpha).$$
Отсюда реакция доски:
$$N_1 = \frac{Mg\cos\alpha}{2(\cos\alpha + \mu\sin\alpha)}.$$
Доска едет равномерно, значит тянущая сила $F$ ровно равна силе трения, которую создаёт стержень:
$$F = \mu N_1 = \frac{\mu Mg\cos\alpha}{2(\cos\alpha + \mu\sin\alpha)}.$$
Подставляем числа ($\cos 30° \approx 0{,}866$, $\sin 30° = 0{,}5$):
$$F = \frac{0{,}2 \cdot 1 \cdot 10 \cdot 0{,}866}{2(0{,}866 + 0{,}2 \cdot 0{,}5)} = \frac{1{,}732}{1{,}932} \approx 0{,}9 \text{ Н}.$$
0,9