ID: 00004042
Груз массой M = 800 г соединён невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через гладкий невесомый блок, с бруском массой m = 400 г. К этому бруску на лёгкой пружине подвешен второй такой же брусок. Длина нерастянутой пружины l = 10 см, коэффициент трения груза о поверхность стола μ = 0,2. Длина пружины при движении брусков остаётся постоянной и равна L = 14 см.
Определите жёсткость пружины. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на груз и бруски. Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи. Ответ дайте в Н/м.
Источник: ФИПИ
1. Решаем в инерциальной системе отсчёта, связанной со столом. Тела движутся поступательно, поэтому применяем к ним второй закон Ньютона как к материальным точкам.
2. Нить нерастяжима, длина пружины во время движения постоянна — значит ускорения всех трёх тел равны по модулю: $a_1 = a_2 = a_3 = a$.
3. Блок и нити невесомы, трения в оси блока и трения о воздух нет — модули сил натяжения нити одинаковы: $T_1 = T_2 = T_3 = T$. Пружина лёгкая — модули сил упругости, действующих на бруски, равны: $|F_{упр}| = k(L - l)$.
Запишем второй закон Ньютона в проекциях. Для груза массой $M$ на столе (ось $Ox$ — по направлению движения): $T - F_{тр} = Ma$, где $F_{тр} = \mu N = \mu M g$.
Для верхнего бруска массой $m$ (ось вертикально вниз — направление движения): $mg + F_{упр} - T = ma$. Для нижнего бруска массой $m$: $mg - F_{упр} = ma$.
Из уравнения для нижнего бруска: $F_{упр} = m(g - a)$. Сложив уравнения для всех трёх тел, найдём ускорение: $a = \dfrac{2mg - \mu M g}{M + 2m}$.
Подставив $a$ в выражение для $F_{упр}$, получим: $F_{упр} = \dfrac{mMg(1 + \mu)}{M + 2m}$.
По закону Гука $F_{упр} = k(L - l)$, поэтому $k = \dfrac{mMg(1+\mu)}{(L-l)(M+2m)}$.
Подставим числа ($M = 0{,}8$ кг, $m = 0{,}4$ кг, $\mu = 0{,}2$, $L - l = 0{,}04$ м, $g = 10$ м/с²):
$$k = \dfrac{0{,}4 \cdot 0{,}8 \cdot 10 \cdot 1{,}2}{0{,}04 \cdot 1{,}6} = \dfrac{3{,}84}{0{,}064} = 60\ \text{Н/м}$$