ID: 00003249
В вертикальном цилиндре с гладкими стенками, открытом сверху, под поршнем массой М и конечной площадью основания находится одноатомный идеальный газ. В первоначальном состоянии поршень покоится на высоте h, опираясь на выступы на внутренней стороне стенок цилиндра (см. рисунок а). Давление газа $р_{0}$ равно внешнему атмосферному. Газу сообщили количество теплоты Q, и в результате медленного расширения газа нижняя сторона поршня оказалась на высоте Н (см. рисунок б). Чему равна площадь основания поршня S? Тепловыми потерями пренебречь.
Источник: ФИПИ
Система отсчёта, связанная с Землёй, инерциальна. Поршень поднимается медленно — его ускорение пренебрежимо мало, сумма сил равна нулю. В проекциях на вертикальную ось $Oy$ для поршня под газом получаем: $p_1 S - p_0 S - Mg = 0$, откуда давление газа под движущимся поршнем $p_1 = p_0 + \dfrac{Mg}{S}$.
Используем модель одноатомного идеального газа: $pV = \nu R T$, $U = \dfrac{3}{2}\nu R T = \dfrac{3}{2}\,pV$.
Внутренняя энергия в исходном состоянии $U_0 = \dfrac{3}{2}\,p_0 S h$, в конечном — $U_1 = \dfrac{3}{2}\,p_1 S H$. Работа газа в изобарном процессе $A = p_1 S(H - h)$.
Первое начало термодинамики: $Q = (U_1 - U_0) + A$. После подстановки выражений для $p_1$, $U_0$, $U_1$ и упрощения получаем:
$$Q = \dfrac{3}{2} M g h + \dfrac{5}{2}\bigl(M g + p_0 S\bigr)(H - h)$$
Решая это уравнение относительно $S$, выражаем площадь поршня:
$$S = \dfrac{Q - M g\!\left(\tfrac{3}{2}h + \tfrac{5}{2}(H-h)\right)}{\tfrac{5}{2}\,p_0\,(H-h)}$$