Электрические… — Задание 25 ЕГЭ по физике №00003113

Дано:

$U_0 = 9$ В — показание вольтметра до замыкания ключа, $I_A = 0{,}4$ А — показание амперметра после замыкания; $R_1 = 3$ Ом (в одной ветви с амперметром), $R_2 = 2$ Ом, $R_3 = 1$ Ом, $R_4 = 4$ Ом, $R_5 = 5$ Ом.

Найти:

$r$ — внутреннее сопротивление источника.

Решение:

Пока ключ разомкнут, ток через источник не идёт, поэтому на внутреннем сопротивлении нет падения напряжения. Идеальный вольтметр, подключённый к полюсам источника, показывает его ЭДС:

$$\varepsilon = U_0 = 9\text{ В}.$$

После замыкания ключа внешняя цепь состоит из двух последовательных участков. Первый — три параллельные ветви: $R_1$ с амперметром, $R_2$ и $R_3$. Второй — параллельно соединённые $R_4$ и $R_5$.

Амперметр идеальный, его сопротивление равно нулю, значит, напряжение на первой ветви — это напряжение на резисторе $R_1$. У параллельных ветвей напряжение общее:

$$U_{123} = I_A R_1 = 0{,}4 \cdot 3 = 1{,}2\text{ В}.$$

Токи в двух других ветвях находим по закону Ома для участка цепи:

$$I_2 = \dfrac{U_{123}}{R_2} = \dfrac{1{,}2}{2} = 0{,}6\text{ А}, \qquad I_3 = \dfrac{U_{123}}{R_3} = \dfrac{1{,}2}{1} = 1{,}2\text{ А}.$$

Весь ток цепи (он же ток через источник и через второй участок) — сумма токов ветвей:

$$I = I_A + I_2 + I_3 = 0{,}4 + 0{,}6 + 1{,}2 = 2{,}2\text{ А}.$$

Сопротивление второго участка (два резистора параллельно):

$$R_{45} = \dfrac{R_4 R_5}{R_4 + R_5} = \dfrac{4 \cdot 5}{4 + 5} = \dfrac{20}{9}\text{ Ом}.$$

Напряжение на нём и на всей внешней цепи:

$$U_{45} = I R_{45} = 2{,}2 \cdot \dfrac{20}{9} = \dfrac{44}{9} \approx 4{,}89\text{ В}, \qquad U = U_{123} + U_{45} \approx 1{,}2 + 4{,}89 = 6{,}09\text{ В}.$$

По закону Ома для полной цепи ЭДС равна сумме напряжения на внешней цепи и падения напряжения на внутреннем сопротивлении: $\varepsilon = U + Ir$. Отсюда

$$r = \dfrac{\varepsilon - U}{I} = \dfrac{9 - 6{,}09}{2{,}2} \approx 1{,}32\text{ Ом}.$$

Проверим себя: при $r \approx 1{,}32$ Ом полное сопротивление цепи $\dfrac{6}{11} + \dfrac{20}{9} + 1{,}32 \approx 4{,}09$ Ом, и ток $\dfrac{9}{4{,}09} \approx 2{,}2$ А — сходится. Если округлить $R_{45}$ до $2{,}2$ Ом раньше времени, получится неточное $1{,}34$ Ом: округляем только в конце.