ID: 00002072
К двум вертикально расположенным пружинам одинаковой длины подвесили однородный стержень длиной L = 40 см. Если к этому стержню подвесить груз массой m = 3 кг на расстоянии d = 5 см от правой пружины, то стержень будет расположен горизонтально, а растяжения обеих пружин будут одинаковы (см. рисунок). Жёсткость левой пружины в 3 раза меньше, чем у правой. Чему равна масса М стержня? Сделайте рисунок с указанием сил, использованных в решении задачи.
Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.
Источник: ФИПИ
$L = 0{,}4\;\text{м}$, $m = 3\;\text{кг}$, $d = 0{,}05\;\text{м}$, $k_2 = 3k_1$
$M$
Так как удлинения обеих пружин одинаковы ($\Delta l_1 = \Delta l_2$), а сила упругости $F = k\,\Delta l$, то:
$$\frac{F_1}{k_1} = \frac{F_2}{k_2} \implies \frac{F_2}{F_1} = \frac{k_2}{k_1} = 3$$
то есть $F_2 = 3F_1$.
Запишем уравнение моментов сил относительно центра масс стержня $O$ (направление «по часовой стрелке» — плюс):
$$F_1 \cdot \frac{L}{2} + mg\left(\frac{L}{2} - d\right) - F_2 \cdot \frac{L}{2} = 0$$
Подставляем $F_2 = 3F_1$:
$$F_1 \cdot \frac{L}{2} + mg\left(\frac{L}{2} - d\right) - 3F_1 \cdot \frac{L}{2} = 0 \implies F_1 L = mg\left(\frac{L}{2} - d\right)$$
Второй закон Ньютона (равновесие вдоль вертикали):
$$F_1 + F_2 = Mg + mg \implies 4F_1 = (M + m)g$$
Откуда:
$$F_1 = \frac{(M+m)g}{4}$$
Подставляем в уравнение моментов:
$$\frac{(M+m)g}{4} \cdot L = mg\left(\frac{L}{2} - d\right)$$
$$M = \frac{m\left(\frac{L}{2} - d\right) \cdot 4}{L} - m = \frac{4m\left(\frac{L}{2} - d\right) - mL}{L}$$
$$M = \frac{mL - 4md}{L} = m\left(1 - \frac{4d}{L}\right) = 3\cdot\left(1 - \frac{4 \cdot 0{,}05}{0{,}4}\right) = 3\cdot(1 - 0{,}5) = 1{,}5\;\text{кг}$$
1,5