ID: 00001365
Цилиндр массой m = 1 кг и радиусом R = 4 см, на который намотана нерастяжимая невесомая нить, положили на наклонную плоскость, а конец нити прикрепили к вертикальной стенке. Ось цилиндра горизонтальна. Нить не скользит по цилиндру, параллельна наклонной плоскости и перпендикулярна оси цилиндра (см. рисунок). Коэффициент трения между цилиндром и плоскостью μ = 0,5. При каком максимальном угле наклона плоскости к горизонту цилиндр будет находиться в равновесии? Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на цилиндр.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Источник: ФИПИ
$m = 1\text{ кг}$, $R = 4\text{ см}$, $\mu = 0{,}5$, $g = 10\text{ м/с}^2$.
максимальный угол $\alpha$ — ?
На цилиндр действуют: сила тяжести $mg$ (в центре), нормальная реакция опоры $N$ (перпендикулярно плоскости), сила трения $f$ и натяжение нити $T$ (оба вдоль плоскости вверх). Условие равновесия — второй закон Ньютона при $a = 0$.
Ось вдоль плоскости:
$$T + f - mg\sin\alpha = 0 \quad (1)$$
Ось перпендикулярно плоскости:
$$N - mg\cos\alpha = 0 \implies N = mg\cos\alpha \quad (2)$$
Уравнение моментов относительно точки касания цилиндра с плоскостью (моменты $N$ и $mg$ через эту точку равны нулю):
$$T \cdot R - f \cdot R = 0 \implies T = f \quad (3)$$
Из (1) и (3): $$2f = mg\sin\alpha$$
При максимальном угле сила трения предельна (закон Кулона–Амонтона): $$f = \mu N = \mu mg\cos\alpha$$
Подставляем:
$$2\mu mg\cos\alpha = mg\sin\alpha \implies \tan\alpha = 2\mu = 2 \cdot 0{,}5 = 1$$
$$\alpha = \arctan 1 = 45°$$
$α_{max} = 45°$