Статика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00001365

Дано:

$m = 1\text{ кг}$, $R = 4\text{ см}$, $\mu = 0{,}5$, $g = 10\text{ м/с}^2$.

Найти:

максимальный угол $\alpha$ — ?

Решение:

На цилиндр действуют: сила тяжести $mg$ (в центре), нормальная реакция опоры $N$ (перпендикулярно плоскости), сила трения $f$ и натяжение нити $T$ (оба вдоль плоскости вверх). Условие равновесия — второй закон Ньютона при $a = 0$.

Ось вдоль плоскости:

$$T + f - mg\sin\alpha = 0 \quad (1)$$

Ось перпендикулярно плоскости:

$$N - mg\cos\alpha = 0 \implies N = mg\cos\alpha \quad (2)$$

Уравнение моментов относительно оси цилиндра (линии действия $N$ и $mg$ проходят через ось, поэтому их моменты относительно неё равны нулю). Нить касается цилиндра сверху, сила трения приложена снизу, плечо каждой из них равно $R$:

$$T \cdot R - f \cdot R = 0 \implies T = f \quad (3)$$

Из (1) и (3): $$2f = mg\sin\alpha$$

При максимальном угле сила трения предельна (закон Кулона–Амонтона): $$f = \mu N = \mu mg\cos\alpha$$

Подставляем:

$$2\mu mg\cos\alpha = mg\sin\alpha \implies \tan\alpha = 2\mu = 2 \cdot 0{,}5 = 1$$

$$\alpha = \arctan 1 = 45°$$

Обоснование применимости законов. Цилиндр считаем твёрдым телом (форма не меняется), систему отсчёта, связанную с наклонной плоскостью, — инерциальной. Для равновесия твёрдого тела нужно, чтобы равнялись нулю и сумма сил (поступательное движение отсутствует), и сумма моментов сил относительно любой оси (вращения нет). Нить невесома и нерастяжима — сила её натяжения направлена вдоль нити. При максимальном угле цилиндр на грани проскальзывания, поэтому сила трения покоя достигает максимального значения $\mu N$.