ID: 00001363
Деревянная линейка длиной l = 90 см выдвинута за край стола на 1/4 часть своей длины. При этом она не опрокидывается, если на её правом конце лежит груз массой не более 100 г (см. рисунок). Груз какой максимальной массы можно положить на правый конец линейки, чтобы она не перевернулась в случае, когда она выдвинута за край стола на 1/3 часть своей длины?
Источник: ФИПИ
Линейка перевернётся, если она начнёт поворачиваться вокруг края стола. Значит, край стола — это ось (точка опоры), относительно которой надо сравнивать вращающие моменты: груз тянет свисающий конец вниз, а вес самой линейки удерживает её на столе.
Сначала найдём массу линейки. Пусть масса линейки $M$, её центр тяжести — посередине, на расстоянии $\frac{l}{2}$ от конца. Если линейка свисает на долю $f$ длины, то край стола находится на расстоянии $fl$ от правого конца, а центр тяжести — на расстоянии $\left(\frac{l}{2}-fl\right)$ от края со стороны стола. На грани опрокидывания моменты равны:
$m\,g\,(fl)=M\,g\left(\dfrac{l}{2}-fl\right)\ \Rightarrow\ m f = M\left(\dfrac12-f\right).$
При $f=\frac14$ и $m=100$ г: $100\cdot\frac14=M\cdot\frac14$, откуда $M=100$ г.
Теперь случай $f=\frac13$. Подставляем в то же условие: $m\cdot\dfrac13=M\left(\dfrac12-\dfrac13\right)=100\cdot\dfrac16.$ Отсюда $m=\dfrac{300}{6}=50\ \text{г}.$
50 г