ID: 00001361
Деревянная линейка длиной l = 90 см выдвинута за край стола на 1/4 часть своей длины. При этом она не опрокидывается, если на ее правом конце лежит груз массой не более $m_{1}$ = 250 г. Далее линейку выдвинули вправо за край стола на некоторое расстояние и положили на ее правый конец груз массой $m_{2}$ = 125 г. На какое расстояние дополнительно можно выдвинуть линейку во втором опыте, чтобы она не перевернулась?
Источник: ФИПИ
$l = 0{,}90$ м; начальный вынос $l_0 = l/4 = 0{,}225$ м; $m_1 = 0{,}25$ кг; $m_2 = 0{,}125$ кг
$\Delta x$
Опыт 1. Точка опоры O — край стола. Условие равновесия (сумма моментов = 0):
$$m_1 g \cdot \frac{l}{4} = Mg \cdot \frac{l}{4}$$
Отсюда масса линейки $M = m_1 = 0{,}25$ кг (центр масс линейки находится ровно над краем стола).
Опыт 2. Пусть линейку дополнительно выдвинули на $\Delta x$. Вынос правого конца за край стола: $l_0 + \Delta x = \tfrac{l}{4} + \Delta x$.
Плечо силы тяжести линейки относительно O: $\tfrac{l}{4} - \Delta x$ (уменьшается, т.к. линейка сдвинулась вправо).
Условие равновесия:
$$m_2 g\!\left(\frac{l}{4} + \Delta x\right) = Mg\!\left(\frac{l}{4} - \Delta x\right)$$
Раскрываем и переносим $\Delta x$ в одну сторону:
$$\Delta x\,(m_2 + M) = \frac{l}{4}(M - m_2)$$
$$\Delta x = \frac{l(M - m_2)}{4(M + m_2)} = \frac{0{,}90 \cdot (0{,}25 - 0{,}125)}{4 \cdot (0{,}25 + 0{,}125)} = \frac{0{,}90 \cdot 0{,}125}{4 \cdot 0{,}375} = \frac{0{,}1125}{1{,}5} = 0{,}075\text{ м} = 7{,}5\text{ см}$$
7,5