ID: 00001158
Однородный деревянный шар лежит в сосуде с керосином, касаясь дна и не касаясь стенок сосуда, так, что половина шара находится в керосине. Определите массу шара, если он давит на дно сосуда с силой F = 2 Н. Плотность дерева, из которого сделан шар, равна ρ = 480 $кг/м^{3}$. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на шар.
Источник: Сборник «Отличный Результат 2026»
шар деревянный, половина в керосине, $F_N = 2\text{ Н}$ (сила давления на дно), $\rho_\text{д} = 480\text{ кг/м}^3$, $\rho_\text{к} = 800\text{ кг/м}^3$, $g = 10\text{ м/с}^2$
$m$ — масса шара
На шар действуют три силы: сила тяжести $mg$ вниз, сила реакции дна $N$ вверх и сила Архимеда $F_A$ вверх. Второй закон Ньютона (тело покоится):
$$mg = N + F_A$$
По третьему закону Ньютона: $N = F_N = 2\text{ Н}$.
Сила Архимеда (погружена половина объёма):
$$F_A = \rho_\text{к} g \cdot \frac{V}{2}$$
Масса шара: $m = \rho_\text{д} V$, откуда $V = m/\rho_\text{д}$.
Подставляем в уравнение равновесия:
$$mg = F_N + \rho_\text{к} g \cdot \frac{m}{2\rho_\text{д}}$$
$$m\left(g - \frac{\rho_\text{к} g}{2\rho_\text{д}}\right) = F_N$$
$$m = \frac{F_N}{g\left(1 - \dfrac{\rho_\text{к}}{2\rho_\text{д}}\right)} = \frac{2}{10\left(1 - \dfrac{800}{2 \cdot 480}\right)} = \frac{2}{10\left(1 - \dfrac{5}{6}\right)} = \frac{2}{10 \cdot \dfrac{1}{6}} = \frac{2 \cdot 6}{10} = 1{,}2\text{ кг}$$
1,2 кг