ID: 00000789
Тело, движущееся равноускоренно из состояния покоя, за первый километр разгона приобрело скорость 54 км/ч. Чему равно общее время разгона, если за это время тело прошло путь, равный 2250 м?
Источник: ФИПИ
Начальная скорость $v_0 = 0$; после первого километра разгона $s_1 = 1000$ м скорость $v_1 = 54$ км/ч; полный путь разгона $s = 2250$ м.
Переведём скорость в СИ: $v_1 = 54\ \text{км/ч} = \dfrac{54\cdot 1000}{3600}\ \text{м/с} = 15$ м/с.
Найти: полное время разгона $t$.
Тело считаем материальной точкой: его размеры не влияют на описание движения, вращением пренебрегаем. Движение прямолинейное и равноускоренное — по условию ускорение постоянно на всём пути разгона, значит одно и то же значение $a$ описывает и первый километр, и весь путь $2250$ м. Разгон идёт из состояния покоя, поэтому $v_0 = 0$, и скорость всё время направлена в одну сторону — путь совпадает с модулем перемещения. Ось $Ox$ направим вдоль движения; тогда проекции $a$ и $v$ положительны, и можно работать со скалярными уравнениями кинематики равноускоренного движения:
$$s = v_0 t + \frac{a t^2}{2}, \qquad v^2 - v_0^2 = 2 a s.$$Ключевой шаг — сначала найти ускорение, потому что напрямую по полному пути время не считается: в формуле пути неизвестны и $a$, и $t$. Ускорение даёт первый километр, где известны и путь, и набранная скорость. Из формулы, связывающей скорость и путь, при $v_0 = 0$:
$$v_1^2 = 2 a s_1 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{v_1^2}{2 s_1}.$$Теперь весь разгон: за время $t$ тело из покоя проходит путь $s$, поэтому
$$s = \frac{a t^2}{2} \quad \Rightarrow \quad t = \sqrt{\frac{2 s}{a}}.$$Подставим сюда выражение для ускорения и получим рабочую формулу через величины условия:
$$t = \sqrt{\frac{2 s \cdot 2 s_1}{v_1^2}} = \frac{2\sqrt{s\, s_1}}{v_1}.$$Сначала ускорение:
$$a = \frac{(15\ \text{м/с})^2}{2 \cdot 1000\ \text{м}} = \frac{225}{2000}\ \text{м/с}^2 = 0{,}1125\ \text{м/с}^2.$$Затем время разгона:
$$t = \frac{2\sqrt{2250\ \text{м} \cdot 1000\ \text{м}}}{15\ \text{м/с}} = \frac{2 \cdot 1500\ \text{м}}{15\ \text{м/с}} = 200\ \text{с}.$$Проверка. Конечная скорость $v = a t = 0{,}1125 \cdot 200 = 22{,}5$ м/с, и тогда $v^2 = 506{,}25 = 2 \cdot 0{,}1125 \cdot 2250$ — совпадает с условием, значит время $t = 200$ с найдено верно (это около $3$ мин $20$ с).
200