Окружности — Задание 25 ОГЭ по математике №00045911

💡 Идея. Две общие внешние касательные к окружностям разного радиуса пересекаются в точке $S$ на прямой центров. Хорды $AB$ и $CD$ перпендикулярны этой прямой, поэтому расстояние между ними — разность расстояний от $S$ до середин хорд, а такие расстояния даёт прямоугольный треугольник «касательная — радиус — отрезок до центра».

Пусть $O_1$ — центр окружности радиуса $12$, $O_2$ — радиуса $28$. При внешнем касании расстояние между центрами равно сумме радиусов: $O_1O_2=12+28=40$.

Отрезки $AC$ и $BD$ соединяют точки разных окружностей, значит, это внешние общие касательные. Радиусы разные, поэтому прямые $AC$ и $BD$ не параллельны и пересекаются в точке $S$. Каждая окружность касается обеих сторон угла $ASB$, то есть вписана в этот угол, а центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе. Поэтому $S$, $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой.

Почему $AB\perp O_1O_2$: отрезки касательных из одной точки равны, $SA=SB$, и радиусы равны, $O_1A=O_1B$. Точки $S$ и $O_1$ одинаково удалены от $A$ и $B$, значит, прямая $SO_1$ — серединный перпендикуляр к $AB$. Точно так же $SC=SD$, $O_2C=O_2D$, и $CD\perp SO_2$. Итак, прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны прямой центров и пересекают её в точках $H_1$ и $H_2$; искомое расстояние равно $H_1H_2$.

Найдём $SO_1$ и $SO_2$. Радиусы $O_1A$ и $O_2C$ перпендикулярны прямой $SC$, поэтому прямоугольные треугольники $SAO_1$ и $SCO_2$ подобны (угол $S$ общий):

$$\dfrac{SO_1}{SO_2}=\dfrac{O_1A}{O_2C}=\dfrac{12}{28}=\dfrac{3}{7}.$$

Точка $S$ лежит за меньшей окружностью, поэтому $SO_2-SO_1=O_1O_2=40$. Это $7-3=4$ части, одна часть $40:4=10$, и $SO_1=30$, $SO_2=70$.

В прямоугольном треугольнике $SAO_1$ отрезок $AH_1$ — высота, проведённая к гипотенузе $SO_1$. Правило: катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на неё, то есть $SA^{2}=SO_1\cdot SH_1$. По теореме Пифагора $SA^{2}=30^{2}-12^{2}=900-144=756$, поэтому

$$SH_1=\dfrac{756}{30}=25{,}2.$$

Так же в треугольнике $SCO_2$: $SC^{2}=70^{2}-28^{2}=4900-784=4116$, и

$$SH_2=\dfrac{4116}{70}=58{,}8.$$

Точки $H_1$ и $H_2$ лежат на одном луче от $S$, поэтому

$$H_1H_2=58{,}8-25{,}2=33{,}6.$$

Расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ равно $33{,}6$.

Проверим себя другим способом. Через $O_1$ проведём прямую, параллельную $AC$, до пересечения с $O_2C$ в точке $K$: $O_2K=28-12=16$ и $AC=O_1K=\sqrt{40^{2}-16^{2}}=\sqrt{1344}$. Проекция $AC$ на прямую центров равна $AC\cdot\cos\varphi=\sqrt{1344}\cdot\dfrac{\sqrt{1344}}{40}=\dfrac{1344}{40}=33{,}6$ — то же самое.