ID: 00039029
Источник: ФИПИ
Две окружности радиусов $r=25$ и $R=100$ касаются внешним образом. $AC$ и $BD$ — их общие касательные, точки $A$ и $B$ — точки касания на меньшей окружности, $C$ и $D$ — на большей. Нужно найти расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.
Шаг 1. Расстояние между центрами. Обозначим центры $O_{1}$ (меньшая окружность) и $O_{2}$ (большая). При внешнем касании расстояние между центрами равно сумме радиусов:
$O_{1}O_{2}=25+100=125$.
Шаг 2. Куда смотрят прямые $AB$ и $CD$. Вся картинка симметрична относительно прямой $O_{1}O_{2}$: одна касательная переходит в другую, поэтому точки $A$ и $B$ симметричны друг другу, и точки $C$ и $D$ тоже. Значит хорда $AB$ перпендикулярна прямой центров и делится ею пополам; обозначим точку пересечения $A_{1}$. Так же $CD$ перпендикулярна прямой центров, точку пересечения обозначим $C_{1}$. Обе прямые перпендикулярны $O_{1}O_{2}$, значит они параллельны, и искомое расстояние — это длина отрезка $A_{1}C_{1}$.
Шаг 3. Точка пересечения касательных. Радиусы разные, поэтому касательные $AC$ и $BD$ не параллельны и пересекаются в некоторой точке $P$, лежащей на оси симметрии, то есть на прямой $O_{1}O_{2}$. Радиус в точку касания перпендикулярен касательной, поэтому треугольники $PAO_{1}$ и $PCO_{2}$ прямоугольные с общим острым углом при $P$, а значит подобны. Из подобия
$\dfrac{PO_{1}}{PO_{2}}=\dfrac{O_{1}A}{O_{2}C}=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}$.
Так как $PO_{2}=PO_{1}+125$ (точка $P$ лежит за меньшей окружностью), получаем $4PO_{1}=PO_{1}+125$, откуда
$PO_{1}=\dfrac{125}{3}$ и $PO_{2}=\dfrac{125}{3}+125=\dfrac{500}{3}$.
Шаг 4. Где ось пересекает хорды. В прямоугольном треугольнике $PAO_{1}$ (прямой угол при $A$) отрезок $AA_{1}$ — высота к гипотенузе $PO_{1}$. По свойству прямоугольного треугольника катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией: $O_{1}A^{2}=O_{1}A_{1}\cdot O_{1}P$. Отсюда
$O_{1}A_{1}=\dfrac{25^{2}}{125/3}=\dfrac{625\cdot 3}{125}=15$.
Точно так же в треугольнике $PCO_{2}$:
$O_{2}C_{1}=\dfrac{100^{2}}{500/3}=\dfrac{10000\cdot 3}{500}=60$.
Шаг 5. Собираем отрезок. Основание высоты лежит внутри гипотенузы, поэтому $A_{1}$ лежит между $P$ и $O_{1}$, то есть по другую сторону от $O_{1}$, чем $O_{2}$; а $C_{1}$ лежит между $P$ и $O_{2}$, то есть со стороны $O_{1}$. Значит
$A_{1}C_{1}=O_{1}A_{1}+O_{1}O_{2}-O_{2}C_{1}=15+125-60=80$.
Заметим полезную формулу, которая тут получилась: расстояние равно $\dfrac{4Rr}{R+r}=\dfrac{4\cdot 100\cdot 25}{125}=80$.