ID: 00039038
Источник: ФИПИ
Окружности радиусов $r=22$ и $R=99$ касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой (меньшей) окружности, точки $C$ и $D$ — на второй, а $AC$ и $BD$ — общие касательные. Найдём расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.
Шаг 1. Центры. Обозначим $O_{1}$ — центр меньшей окружности, $O_{2}$ — центр большей. При внешнем касании расстояние между центрами равно сумме радиусов:
$O_{1}O_{2}=22+99=121$.
Шаг 2. Как расположены прямые $AB$ и $CD$. Вся конструкция симметрична относительно прямой $O_{1}O_{2}$: при отражении одна общая касательная переходит в другую, точка $A$ переходит в $B$, а $C$ — в $D$. Поэтому хорда $AB$ перпендикулярна прямой центров и пересекает её в своей середине $A_{1}$; так же $CD$ перпендикулярна прямой центров и пересекает её в точке $C_{1}$. Обе прямые перпендикулярны одной прямой, значит параллельны, а искомое расстояние равно длине отрезка $A_{1}C_{1}$.
Шаг 3. Точка пересечения касательных. Радиусы различны, поэтому касательные $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$, лежащей на оси симметрии, то есть на прямой $O_{1}O_{2}$, за меньшей окружностью. Радиус в точку касания перпендикулярен касательной, поэтому треугольники $PAO_{1}$ и $PCO_{2}$ — прямоугольные с общим острым углом при вершине $P$, а значит подобны:
$\dfrac{PO_{1}}{PO_{2}}=\dfrac{O_{1}A}{O_{2}C}=\dfrac{22}{99}=\dfrac{2}{9}$.
Так как $PO_{2}=PO_{1}+121$, получаем $9PO_{1}=2(PO_{1}+121)$, то есть $7PO_{1}=242$ и
$PO_{1}=\dfrac{242}{7}$, $PO_{2}=\dfrac{242}{7}+121=\dfrac{1089}{7}$.
Шаг 4. Где хорды пересекают прямую центров. В прямоугольном треугольнике $PAO_{1}$ (прямой угол при $A$) отрезок $AA_{1}$ — высота к гипотенузе $PO_{1}$. По свойству прямоугольного треугольника катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией: $O_{1}A^{2}=O_{1}A_{1}\cdot O_{1}P$. Отсюда
$O_{1}A_{1}=\dfrac{22^{2}}{242/7}=\dfrac{484\cdot 7}{242}=14$.
Аналогично из треугольника $PCO_{2}$:
$O_{2}C_{1}=\dfrac{99^{2}}{1089/7}=\dfrac{9801\cdot 7}{1089}=63$.
Шаг 5. Складываем отрезки. Основание высоты лежит внутри гипотенузы, поэтому $A_{1}$ находится между $P$ и $O_{1}$, то есть с внешней стороны от $O_{1}$, а $C_{1}$ — между $P$ и $O_{2}$, то есть со стороны $O_{1}$. Значит
$A_{1}C_{1}=O_{1}A_{1}+O_{1}O_{2}-O_{2}C_{1}=14+121-63=72$.
Полезно запомнить формулу, которая тут получилась: расстояние равно $\dfrac{4Rr}{R+r}=\dfrac{4\cdot 99\cdot 22}{121}=72$.