ID: 00039004
Источник: ФИПИ
Пусть $O_{1}$ — центр первой окружности (радиус 36), $O_{2}$ — центр второй (радиус 45). Окружности касаются внешним образом, поэтому расстояние между центрами равно сумме радиусов: $O_{1}O_{2}=36+45=81$. Прямые $AC$ и $BD$ — общие касательные, $A$, $B$ — точки касания на первой окружности, $C$, $D$ — на второй.
Шаг 1. Хорды перпендикулярны линии центров. Вся конфигурация симметрична относительно прямой $O_{1}O_{2}$: при отражении касательные меняются местами, поэтому точки $A$ и $B$ симметричны относительно линии центров, и точки $C$, $D$ тоже. Значит, $AB\perp O_{1}O_{2}$ и $CD\perp O_{1}O_{2}$: прямые параллельны, а расстояние между ними откладывается вдоль линии центров.
Шаг 2. Длина общей касательной. Радиусы в точки касания перпендикулярны касательной, поэтому $O_{1}A\parallel O_{2}C$. Опустим из $O_{1}$ перпендикуляр $O_{1}E$ на прямую $O_{2}C$; получится прямоугольник $AO_{1}EC$, где $O_{1}E=AC$, $CE=O_{1}A=36$ и $O_{2}E=45-36=9$. По теореме Пифагора в треугольнике $O_{1}EO_{2}$:
$AC^{2}=81^{2}-9^{2}=6561-81=6480$.
Шаг 3. Проекция на линию центров. Пусть $A_{1}$, $C_{1}$ — проекции точек $A$ и $C$ на прямую $O_{1}O_{2}$. Так как $AB$ и $CD$ перпендикулярны линии центров, $A_{1}$ и $C_{1}$ — это точки, в которых прямые $AB$ и $CD$ пересекают линию центров, и искомое расстояние равно $A_{1}C_{1}=AC\cdot\cos\varphi$, где $\varphi$ — угол между $AC$ и $O_{1}O_{2}$.
Шаг 4. Считаем. Прямая $AC$ параллельна $O_{1}E$, поэтому $\cos\varphi=\dfrac{O_{1}E}{O_{1}O_{2}}=\dfrac{AC}{81}$, и
$A_{1}C_{1}=\dfrac{AC^{2}}{81}=\dfrac{6480}{81}=80$.