Окружности — Задание 25 ОГЭ по математике №00039019

Пусть $O_{1}$ — центр окружности радиуса 44, $O_{2}$ — центр окружности радиуса 77. Окружности касаются внешним образом, поэтому $O_{1}O_{2}=44+77=121$. Прямые $AC$ и $BD$ — общие касательные ($A$, $B$ — точки касания на первой окружности, $C$, $D$ — на второй).

Шаг 1. Перпендикулярность. Конфигурация симметрична относительно линии центров: точки $A$ и $B$ симметричны относительно $O_{1}O_{2}$, как и точки $C$, $D$. Поэтому хорды $AB$ и $CD$ перпендикулярны линии центров и параллельны друг другу, а расстояние между ними откладывается вдоль $O_{1}O_{2}$.

Шаг 2. Общая касательная. Так как $O_{1}A\perp AC$ и $O_{2}C\perp AC$, радиусы параллельны. Опустим из $O_{1}$ перпендикуляр $O_{1}E$ на прямую $O_{2}C$: $AO_{1}EC$ — прямоугольник, $O_{1}E=AC$, $CE=44$, $O_{2}E=77-44=33$. По теореме Пифагора

$AC^{2}=121^{2}-33^{2}=14641-1089=13552$.

Шаг 3. Проекция на линию центров. Проекции точек $A$ и $C$ на прямую $O_{1}O_{2}$ — это точки пересечения прямых $AB$ и $CD$ с линией центров, поэтому искомое расстояние равно $AC\cos\varphi$, где $\varphi$ — угол между $AC$ и $O_{1}O_{2}$. Из параллельности $AC\parallel O_{1}E$ получаем $\cos\varphi=\dfrac{AC}{121}$, и расстояние равно

$\dfrac{AC^{2}}{121}=\dfrac{13552}{121}=112$.