Окружности — Задание 25 ОГЭ по математике №00045910

💡 Идея. Две общие внешние касательные симметричны относительно прямой центров, поэтому хорды $AB$ и $CD$ перпендикулярны этой прямой и параллельны друг другу. Расстояние между ними — это проекция касательного отрезка $AC$ на прямую центров.

Пусть $O_1$ — центр первой окружности (радиус $8$), $O_2$ — второй (радиус $12$). Окружности касаются внешним образом, поэтому расстояние между центрами равно сумме радиусов: $O_1O_2=8+12=20$.

Отрезки $AC$ и $BD$ соединяют точку первой окружности с точкой второй, значит, это две внешние общие касательные: третья общая касательная проходит через точку касания окружностей и такого отрезка не даёт.

Вся картинка симметрична относительно прямой $O_1O_2$: при отражении в ней каждая окружность переходит в себя, а одна внешняя касательная — в другую. Поэтому точка $A$ переходит в $B$, а $C$ — в $D$. Отрезок, соединяющий симметричные точки, перпендикулярен оси симметрии, значит, $AB\perp O_1O_2$ и $CD\perp O_1O_2$. Две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны: $AB\parallel CD$.

Расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $CD$ равно длине проекции отрезка $AC$ на прямую $O_1O_2$, ведь эта прямая им перпендикулярна.

Найдём длину $AC$ и её наклон к $O_1O_2$. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной: $O_1A\perp AC$ и $O_2C\perp AC$. Значит, $O_1ACO_2$ — прямоугольная трапеция с основаниями $O_1A=8$ и $O_2C=12$.

Проведём через $O_1$ прямую, параллельную $AC$; она пересечёт $O_2C$ в точке $K$. Тогда $O_1ACK$ — прямоугольник, $O_1K=AC$, $KC=8$, а $O_2K=12-8=4$. Треугольник $O_1KO_2$ прямоугольный (угол $K$ прямой), и по теореме Пифагора

$$O_1K^{2}=O_1O_2^{2}-O_2K^{2}=20^{2}-4^{2}=400-16=384,\qquad AC=O_1K=\sqrt{384}.$$

Угол $\varphi$ между $AC$ и прямой $O_1O_2$ равен углу $KO_1O_2$, так как $O_1K\parallel AC$. Из прямоугольного треугольника $O_1KO_2$: $\cos\varphi=\dfrac{O_1K}{O_1O_2}=\dfrac{\sqrt{384}}{20}$.

Проекция отрезка на прямую равна его длине, умноженной на косинус угла между ними:

$$AC\cdot\cos\varphi=\sqrt{384}\cdot\dfrac{\sqrt{384}}{20}=\dfrac{384}{20}=19{,}2.$$

Расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ равно $19{,}2$.

Проверим себя другим способом. Касательные $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $S$ на прямой центров. Радиусы $O_1A$ и $O_2C$ параллельны, поэтому $\dfrac{SO_1}{SO_2}=\dfrac{8}{12}$, а $SO_2-SO_1=20$; отсюда $SO_1=40$, $SO_2=60$. В прямоугольном треугольнике $SAO_1$ проекция катета $SA$ на гипотенузу равна $\dfrac{SA^{2}}{SO_1}=\dfrac{40^{2}-8^{2}}{40}=\dfrac{1536}{40}=38{,}4$, а для точки $C$: $\dfrac{60^{2}-12^{2}}{60}=\dfrac{3456}{60}=57{,}6$. Разность $57{,}6-38{,}4=19{,}2$ — совпало.