ID: 00038988
Источник: ФИПИ
Пусть $O_{1}$ — центр первой окружности (радиус 42), $O_{2}$ — центр второй (радиус 84). Окружности касаются внешним образом, поэтому $O_{1}O_{2}=42+84=126$. Прямые $AC$ и $BD$ — общие касательные, точки $A$, $B$ — точки касания на первой окружности, $C$, $D$ — на второй.
Шаг 1. Обе прямые перпендикулярны линии центров. Картинка симметрична относительно прямой $O_{1}O_{2}$: при отражении касательные меняются местами, поэтому $A$ и $B$ симметричны относительно линии центров, и $C$ и $D$ тоже. Значит, хорды $AB$ и $CD$ перпендикулярны $O_{1}O_{2}$ и параллельны между собой, а расстояние между ними откладывается по линии центров.
Шаг 2. Общая касательная. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной: $O_{1}A\perp AC$, $O_{2}C\perp AC$, поэтому $O_{1}A\parallel O_{2}C$. Опустим из $O_{1}$ перпендикуляр $O_{1}E$ на прямую $O_{2}C$: получится прямоугольник $AO_{1}EC$, в котором $O_{1}E=AC$ и $CE=O_{1}A=42$, значит $O_{2}E=84-42=42$. По теореме Пифагора в треугольнике $O_{1}EO_{2}$:
$AC^{2}=O_{1}O_{2}^{2}-O_{2}E^{2}=126^{2}-42^{2}=15876-1764=14112$.
Шаг 3. Проекция на линию центров. Пусть $A_{1}$ и $C_{1}$ — проекции точек $A$ и $C$ на прямую $O_{1}O_{2}$. Так как $AB\perp O_{1}O_{2}$, точка $A_{1}$ — это пересечение прямой $AB$ с линией центров, а $C_{1}$ — пересечение прямой $CD$ с ней. Поэтому искомое расстояние равно $A_{1}C_{1}=AC\cdot\cos\varphi$, где $\varphi$ — угол между $AC$ и $O_{1}O_{2}$.
Шаг 4. Считаем. Прямая $AC$ параллельна $O_{1}E$, поэтому $\cos\varphi=\dfrac{O_{1}E}{O_{1}O_{2}}=\dfrac{AC}{126}$, и
$A_{1}C_{1}=\dfrac{AC^{2}}{126}=\dfrac{14112}{126}=112$.