Окружности — Задание 25 ОГЭ по математике №00039017

Пусть $O_{1}$ — центр окружности радиуса 4, $O_{2}$ — центр окружности радиуса 60. Окружности касаются внешним образом, поэтому $O_{1}O_{2}=4+60=64$. Прямые $AC$ и $BD$ — общие касательные: $A$, $B$ лежат на первой окружности, $C$, $D$ — на второй.

Шаг 1. Хорды перпендикулярны линии центров. Картинка симметрична относительно прямой $O_{1}O_{2}$ (касательные при отражении меняются местами), поэтому точки $A$ и $B$ симметричны относительно линии центров, и точки $C$, $D$ тоже. Значит, $AB\perp O_{1}O_{2}$, $CD\perp O_{1}O_{2}$, и прямые $AB$ и $CD$ параллельны.

Шаг 2. Длина общей касательной. Радиусы в точки касания перпендикулярны касательной, значит $O_{1}A\parallel O_{2}C$. Опустим перпендикуляр $O_{1}E$ из $O_{1}$ на прямую $O_{2}C$: $AO_{1}EC$ — прямоугольник, $O_{1}E=AC$, $CE=O_{1}A=4$, $O_{2}E=60-4=56$. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $O_{1}EO_{2}$:

$AC^{2}=64^{2}-56^{2}=4096-3136=960$.

Шаг 3. Проекция. Проекции точек $A$ и $C$ на линию центров — это точки, где прямые $AB$ и $CD$ пересекают $O_{1}O_{2}$, поэтому искомое расстояние равно $AC\cdot\cos\varphi$, где $\varphi$ — угол между $AC$ и линией центров. Так как $AC\parallel O_{1}E$, то $\cos\varphi=\dfrac{AC}{64}$, и расстояние равно

$\dfrac{AC^{2}}{64}=\dfrac{960}{64}=15$.