Окружности — Задание 25 ОГЭ по математике №00039015

Пусть $O_{1}$ — центр окружности радиуса 12, $O_{2}$ — центр окружности радиуса 20. Касание внешнее, поэтому $O_{1}O_{2}=12+20=32$. Прямые $AC$ и $BD$ — общие касательные ($A$, $B$ — на первой окружности, $C$, $D$ — на второй).

Шаг 1. Перпендикулярность линии центров. Конфигурация симметрична относительно прямой $O_{1}O_{2}$: касательные при отражении переходят друг в друга, поэтому $A$ и $B$ симметричны относительно линии центров, как и $C$, $D$. Следовательно, $AB\perp O_{1}O_{2}$ и $CD\perp O_{1}O_{2}$, прямые $AB$ и $CD$ параллельны.

Шаг 2. Общая касательная. Радиусы в точки касания перпендикулярны касательной, поэтому $O_{1}A\parallel O_{2}C$. Опустим из $O_{1}$ перпендикуляр $O_{1}E$ на прямую $O_{2}C$: $AO_{1}EC$ — прямоугольник, $O_{1}E=AC$, $CE=12$, $O_{2}E=20-12=8$. По теореме Пифагора

$AC^{2}=32^{2}-8^{2}=1024-64=960$.

Шаг 3. Расстояние между прямыми. Пусть $A_{1}$, $C_{1}$ — проекции точек $A$ и $C$ на линию центров; это точки пересечения прямых $AB$ и $CD$ с $O_{1}O_{2}$, поэтому искомое расстояние равно $A_{1}C_{1}=AC\cos\varphi$, где $\varphi$ — угол между $AC$ и $O_{1}O_{2}$. Так как $AC\parallel O_{1}E$, имеем $\cos\varphi=\dfrac{AC}{32}$, и

$A_{1}C_{1}=\dfrac{AC^{2}}{32}=\dfrac{960}{32}=30$.