ID: 00011794
Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что прямые ABи IJ перпендикулярны.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. оба центра равноудалены от концов общей хорды — значит лежат на её серединном перпендикуляре.
Точка I — центр первой окружности, поэтому IA=IB как радиусы; значит I равноудалена от концов отрезка AB и лежит на его серединном перпендикуляре.
Точка J — центр второй окружности, поэтому JA=JB как радиусы; значит J тоже лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
Через две различные точки проходит единственная прямая, поэтому прямая IJ совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку AB.
Серединный перпендикуляр по определению перпендикулярен отрезку AB.
Следовательно, прямые IJ и AB перпендикулярны, что и требовалось доказать.