Окружности… — Задание 24 ОГЭ по математике №00011794

Задание №24. Геометрические задачи на доказательство

Окружности и их элементы

№2. Задание 24

ID: 00011794

Окружности с центрами в точках $$I$$ и $$J$$ пересекаются в точках $$A$$ и $$B$$ , причём точки $$I$$ и $$J$$ лежат по одну сторону от прямой $$AB$$ . Докажите, что прямые ABи $$IJ$$ перпендикулярны.

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. оба центра равноудалены от концов общей хорды — значит лежат на её серединном перпендикуляре.

Точка $$I$$ — центр первой окружности, поэтому $$IA=IB$$ как радиусы; значит $$I$$ равноудалена от концов отрезка $$AB$$ и лежит на его серединном перпендикуляре.

Точка $$J$$ — центр второй окружности, поэтому $$JA=JB$$ как радиусы; значит $$J$$ тоже лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$AB$$ .

Через две различные точки проходит единственная прямая, поэтому прямая $$IJ$$ совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку $$AB$$ .

Серединный перпендикуляр по определению перпендикулярен отрезку $$AB$$ .

Следовательно, прямые $$IJ$$ и $$AB$$ перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано: прямые

$AB$

$IJ$

перпендикулярны — точки

$I$

$J$

равноудалены от концов хорды

$AB$

(как радиусы), поэтому прямая

$IJ$

совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку

$AB$

Видеоразбор

Другие задания по теме «Окружности и их элементы» (8)