ID: 00011794
Окружности с центрами в точках $I$ и $J$ пересекаются в точках $A$ и $B$, причём точки $I$ и $J$ лежат по одну сторону от прямой $AB$. Докажите, что прямые ABи $IJ$ перпендикулярны.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. оба центра равноудалены от концов общей хорды — значит лежат на её серединном перпендикуляре.
Точка $I$ — центр первой окружности, поэтому $IA=IB$ как радиусы; значит $I$ равноудалена от концов отрезка $AB$ и лежит на его серединном перпендикуляре.
Точка $J$ — центр второй окружности, поэтому $JA=JB$ как радиусы; значит $J$ тоже лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$.
Через две различные точки проходит единственная прямая, поэтому прямая $IJ$ совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.
Серединный перпендикуляр по определению перпендикулярен отрезку $AB$.
Следовательно, прямые $IJ$ и $AB$ перпендикулярны, что и требовалось доказать.