Окружности… — Задание 24 ОГЭ по математике №00009859

Задание №24. Геометрические задачи на доказательство

Окружности и их элементы

№2. Задание 24

ID: 00009859

Известно, что около четырехугольника $$ABCD$$ можно описать окружность и что продолжения сторон $$AB$$ и $$CD$$ четырехугольника пересекаются в точке $$S$$ . Докажите, что треугольники $$BCS$$ и $$DAS$$ подобны.

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. общий угол плюс свойство вписанного четырёхугольника дают подобие.

Четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность, а продолжения двух его сторон пересекаются в точке $$S$$ . Рассмотрим два образовавшихся треугольника с общей вершиной $$S$$ .

У этих треугольников угол при вершине $$S$$ общий.

Так как четырёхугольник вписанный, его внешний угол равен внутреннему углу при противоположной вершине; поэтому второй угол одного треугольника равен соответствующему углу другого.

По двум равным углам треугольники подобны (первый признак подобия).

Следовательно, указанные треугольники подобны, что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано: треугольники

$BCS$

$DAS$

подобны — угол при вершине

$S$

общий, а у вписанного четырёхугольника внешний угол равен внутреннему при противоположной вершине, откуда подобие по двум углам

Видеоразбор

Другие задания по теме «Окружности и их элементы» (8)