ID: 00009794
Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E, F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые CD и EF перпендикулярны.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. оба центра равноудалены от концов общей хорды — значит лежат на её серединном перпендикуляре.
Точка E — центр первой окружности, поэтому EC=ED как радиусы; значит E равноудалена от концов отрезка CD и лежит на его серединном перпендикуляре.
Точка F — центр второй окружности, поэтому FC=FD как радиусы; значит F тоже лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD.
Через две различные точки проходит единственная прямая, поэтому прямая EF совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку CD.
Серединный перпендикуляр по определению перпендикулярен отрезку CD.
Следовательно, прямые EF и CD перпендикулярны, что и требовалось доказать.