ID: 00009794
Окружности с центрами в точках $E$ и $F$ пересекаются в точках $C$ и $D$, причём точки $E$, $F$ лежат по одну сторону от прямой $CD$. Докажите, что прямые $CD$ и $EF$ перпендикулярны.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. оба центра равноудалены от концов общей хорды — значит лежат на её серединном перпендикуляре.
Точка $E$ — центр первой окружности, поэтому $EC=ED$ как радиусы; значит $E$ равноудалена от концов отрезка $CD$ и лежит на его серединном перпендикуляре.
Точка $F$ — центр второй окружности, поэтому $FC=FD$ как радиусы; значит $F$ тоже лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $CD$.
Через две различные точки проходит единственная прямая, поэтому прямая $EF$ совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку $CD$.
Серединный перпендикуляр по определению перпендикулярен отрезку $CD$.
Следовательно, прямые $EF$ и $CD$ перпендикулярны, что и требовалось доказать.