Окружности… — Задание 24 ОГЭ по математике №00013227

Задание №24. Геометрические задачи на доказательство

Окружности и их элементы

№2. Задание 24

ID: 00013227

Окружности с центрами в точках $$E$$ и $$F$$ пересекаются в точках $$C$$ и $$D$$ , причём точки $$E$$ и $$F$$ лежат по одну сторону от прямой $$CD$$ . Докажите, что прямые $$CD$$ и $$EF$$ перпендикулярны.

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. оба центра равноудалены от концов общей хорды — значит лежат на её серединном перпендикуляре.

Точка $$E$$ — центр первой окружности, поэтому $$EC=ED$$ как радиусы; значит $$E$$ равноудалена от концов отрезка $$CD$$ и лежит на его серединном перпендикуляре.

Точка $$F$$ — центр второй окружности, поэтому $$FC=FD$$ как радиусы; значит $$F$$ тоже лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$CD$$ .

Через две различные точки проходит единственная прямая, поэтому прямая $$EF$$ совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку $$CD$$ .

Серединный перпендикуляр по определению перпендикулярен отрезку $$CD$$ .

Следовательно, прямые $$EF$$ и $$CD$$ перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано: прямые

$CD$

$EF$

перпендикулярны — точки

$E$

$F$

равноудалены от концов хорды

$CD$

(как радиусы), поэтому прямая

$EF$

совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку

$CD$

Видеоразбор

Другие задания по теме «Окружности и их элементы» (8)