ID: 00009795
Окружности с центрами в точках $I$ и $J$ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $m:n$. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $m:n$.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. радиусы в точки касания дают подобные прямоугольные треугольники.
Пусть внутренняя общая касательная окружностей с центрами $O_1$ и $O_2$ касается их в точках $P_1$ и $P_2$ и пересекает отрезок $O_1O_2$ в точке $T$.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $O_1P_1\perp P_1P_2$ и $O_2P_2\perp P_1P_2$.
Значит прямоугольные треугольники $O_1P_1T$ и $O_2P_2T$ имеют по равному (вертикальному) углу при точке $T$ и прямые углы, поэтому они подобны.
Из подобия $\dfrac{O_1P_1}{O_2P_2}=\dfrac{O_1T}{O_2T}$, то есть отношение радиусов равно отношению, в котором точка $T$ делит отрезок центров, — а это $a:b$.
Диаметры вдвое больше радиусов, поэтому их отношение тоже равно $a:b$, что и требовалось доказать.