ID: 00009795
Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. радиусы в точки касания дают подобные прямоугольные треугольники.
Пусть внутренняя общая касательная окружностей с центрами O_1 и O_2 касается их в точках P_1 и P_2 и пересекает отрезок O_1O_2 в точке T.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: O_1P_1\perp P_1P_2 и O_2P_2\perp P_1P_2.
Значит прямоугольные треугольники O_1P_1T и O_2P_2T имеют по равному (вертикальному) углу при точке T и прямые углы, поэтому они подобны.
Из подобия \dfrac{O_1P_1}{O_2P_2}=\dfrac{O_1T}{O_2T}, то есть отношение радиусов равно отношению, в котором точка T делит отрезок центров, — а это a:b.
Диаметры вдвое больше радиусов, поэтому их отношение тоже равно a:b, что и требовалось доказать.