Окружности… — Задание 24 ОГЭ по математике №00009793

Задание №24. Геометрические задачи на доказательство

Окружности и их элементы

№2. Задание 24

ID: 00009793

Известно, что около четырёхугольника $$ABCD$$ можно описать окружность и что продолжения сторон $$AB$$ и $$CD$$ четырёхугольника пересекаются в точке $$M$$ . Докажите, что треугольники $$MBC$$ и $$MDA$$ подобны.

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. общий угол плюс свойство вписанного четырёхугольника дают подобие.

Четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность, а продолжения двух его сторон пересекаются в точке $$M$$ . Рассмотрим два образовавшихся треугольника с общей вершиной $$M$$ .

У этих треугольников угол при вершине $$M$$ общий.

Так как четырёхугольник вписанный, его внешний угол равен внутреннему углу при противоположной вершине; поэтому второй угол одного треугольника равен соответствующему углу другого.

По двум равным углам треугольники подобны (первый признак подобия).

Следовательно, указанные треугольники подобны, что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано: треугольники

$MBC$

$MDA$

подобны — угол при вершине

$M$

общий, а у вписанного четырёхугольника внешний угол равен внутреннему при противоположной вершине, откуда подобие по двум углам

Видеоразбор

Другие задания по теме «Окружности и их элементы» (8)