Окружности… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038837

Дано: две окружности с центрами $P$ и $Q$ пересекаются в точках $K$ и $L$. Надо доказать, что прямые $PQ$ и $KL$ перпендикулярны.

Шаг 1. Что известно про центр $P$. Точки $K$ и $L$ лежат на окружности с центром $P$, значит $PK$ и $PL$ — её радиусы, а все радиусы одной окружности равны: $PK=PL$. Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Значит, точка $P$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $KL$.

Шаг 2. То же самое для центра $Q$. Точки $K$ и $L$ лежат и на окружности с центром $Q$, поэтому $QK=QL$ как радиусы этой окружности. Значит, и точка $Q$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $KL$.

Шаг 3. Одна прямая. Центры $P$ и $Q$ — различные точки (иначе окружности были бы концентрическими и не пересекались бы в двух точках). Через две различные точки проходит единственная прямая, поэтому прямая $PQ$ совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку $KL$.

Шаг 4. Вывод. Серединный перпендикуляр к отрезку по определению перпендикулярен этому отрезку, значит $PQ\perp KL$. Что и требовалось доказать.