Окружности — Задание 23 ОГЭ по математике №00045905

Окружность касается прямой $AB$ в точке $B$ и проходит через $C$, центр $O$ лежит на стороне $AC$. Центр делит отрезок $AC$ на два куска: $AO$ и $OC$. Второй кусок — радиус, а первый найдём из прямоугольного треугольника.

Окружность проходит через $C$, поэтому $OC=r=7$. И через $B$ — значит, $OB=7$.

Правило: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому $OB\perp AB$, и треугольник $ABO$ прямоугольный с прямым углом при $B$; $AO$ — его гипотенуза.

По теореме Пифагора:

$$AO^{2}=AB^{2}+OB^{2}=24^{2}+7^{2}=576+49=625,\qquad AO=25.$$

Центр лежит на стороне $AC$, то есть между $A$ и $C$, поэтому

$$AC=AO+OC=25+7=32.$$

Значит, $AC=32$.

Проверим себя теоремой о касательной и секущей. Прямая $AC$ пересекает окружность в точках $K$ и $C$, где $AK=AO-r=25-7=18$. Квадрат касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть: $AB^{2}=AK\cdot AC$, то есть $24^{2}=576$ и $18\cdot32=576$ — верно.