Окружности — Задание 23 ОГЭ по математике №00045904

Окружность касается прямой $AB$ в точке $B$, проходит через $C$, а её центр лежит на стороне $AC$. Главное свойство касательной: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Оно даст прямоугольный треугольник, в котором всё выражается через радиус.

Пусть $O$ — центр, $r$ — радиус. Окружность проходит через $B$ и $C$, поэтому $OB=OC=r$.

Центр лежит на стороне $AC$, то есть между $A$ и $C$, значит, $AO=AC-OC=5-r$.

Радиус $OB$ проведён в точку касания, поэтому $OB\perp AB$, и треугольник $ABO$ прямоугольный с прямым углом $B$. Его гипотенуза — $AO$.

По теореме Пифагора $AB^{2}+OB^{2}=AO^{2}$:

$$2^{2}+r^{2}=(5-r)^{2},\qquad 4+r^{2}=25-10r+r^{2}.$$

Вычтем $r^{2}$ из обеих частей: $4=25-10r$, откуда $10r=21$ и $r=2{,}1$.

Радиус окружности равен $2{,}1$.

Проверим себя: $AO=5-2{,}1=2{,}9$, и $2^{2}+2{,}1^{2}=4+4{,}41=8{,}41=2{,}9^{2}$ — верно. Другой способ — теорема о касательной и секущей: прямая $AC$ пересекает окружность в точках $C$ и $K$, где $AK=AC-2r=5-4{,}2=0{,}8$; тогда $AK\cdot AC=0{,}8\cdot5=4=AB^{2}$ — сходится.