Окружности — Задание 23 ОГЭ по математике №00045903

Даны две хорды одной окружности: про $CD$ известно всё — длина и расстояние до центра, а про $AB$ — только длина. Общий у них радиус, поэтому сначала найдём его по хорде $CD$, а затем расстояние до $AB$.

Правило: перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, делит её пополам. Причина простая: концы хорды — точки окружности, они одинаково удалены от центра, так что треугольник «центр — концы хорды» равнобедренный, а его высота является и медианой.

Пусть $O$ — центр, $OK\perp CD$, $OK=20$, и $K$ — середина $CD$: $CK=30:2=15$. В прямоугольном треугольнике $OKC$ гипотенуза — радиус $OC$:

$$R^{2}=CK^{2}+OK^{2}=15^{2}+20^{2}=225+400=625.$$

Теперь хорда $AB=14$. Опустим перпендикуляр $OH$ на $AB$; $H$ — середина, поэтому $AH=14:2=7$. В прямоугольном треугольнике $OHA$ гипотенуза — радиус $OA$, а искомое расстояние $OH$ — катет:

$$OH^{2}=R^{2}-AH^{2}=625-7^{2}=625-49=576,\qquad OH=\sqrt{576}=24.$$

Расстояние от центра окружности до хорды $AB$ равно $24$.

Проверим себя: $R=\sqrt{625}=25$, и для хорды $AB$ выполняется $7^{2}+24^{2}=49+576=625=25^{2}$ — тот же радиус. Хорда $AB$ короче хорды $CD$ и поэтому дальше от центра: $24\gt20$ — сходится.