ID: 00025089
Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$. Найдите длину отрезка $KP$, если $AP=30$, а сторона $BC$ в $1{,}2$ раза меньше стороны $AB$.
Источник: Сборник Ященко 2026
💡 Идея. Точки $K$, $B$, $C$, $P$ лежат на одной окружности — это даст равные углы и подобные треугольники, в которых неизвестная $AB$ сократится сама.
Четырёхугольник $KBCP$ вписан в окружность. Правило: у вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна $180^\circ$, поэтому $\angle PKB=180^\circ-\angle BCP$.
Но угол $AKP$ — смежный с углом $PKB$, значит, тоже дополняет его до $180^\circ$:
$$\angle AKP=180^\circ-\angle PKB=\angle BCP=\angle BCA.$$
Сравниваем треугольники $AKP$ и $ACB$: угол $A$ у них общий, а $\angle AKP=\angle ACB$ — подобие по двум углам (вершине $K$ отвечает $C$, вершине $P$ отвечает $B$).
Записываем отношение сходственных сторон:
$$\dfrac{KP}{CB}=\dfrac{AP}{AB}.$$
Отсюда $KP=CB\cdot\dfrac{AP}{AB}$. По условию $BC$ в $1{,}2$ раза меньше $AB$, то есть $CB=\dfrac{AB}{1{,}2}$. Подставляем:
$$KP=\dfrac{AB}{1{,}2}\cdot\dfrac{30}{AB}=\dfrac{30}{1{,}2}=25.$$
Обрати внимание: сторона $AB$ сократилась — её значение и не требовалось.
Отрезок $KP$ равен $25$.