Окружности — Задание 23 ОГЭ по математике №00025089

💡 Идея. Точки $K$, $B$, $C$, $P$ лежат на одной окружности — это даст равные углы и подобные треугольники, в которых неизвестная $AB$ сократится сама.

Четырёхугольник $KBCP$ вписан в окружность. Правило: у вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна $180^\circ$, поэтому $\angle PKB=180^\circ-\angle BCP$.

Но угол $AKP$ — смежный с углом $PKB$, значит, тоже дополняет его до $180^\circ$:

$$\angle AKP=180^\circ-\angle PKB=\angle BCP=\angle BCA.$$

Сравниваем треугольники $AKP$ и $ACB$: угол $A$ у них общий, а $\angle AKP=\angle ACB$ — подобие по двум углам (вершине $K$ отвечает $C$, вершине $P$ отвечает $B$).

Записываем отношение сходственных сторон:

$$\dfrac{KP}{CB}=\dfrac{AP}{AB}.$$

Отсюда $KP=CB\cdot\dfrac{AP}{AB}$. По условию $BC$ в $1{,}2$ раза меньше $AB$, то есть $CB=\dfrac{AB}{1{,}2}$. Подставляем:

$$KP=\dfrac{AB}{1{,}2}\cdot\dfrac{30}{AB}=\dfrac{30}{1{,}2}=25.$$

Обрати внимание: сторона $AB$ сократилась — её значение и не требовалось.

Отрезок $KP$ равен $25$.