Задание 23 ОГЭ по математике: Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках…

№2. Задание 23

ID: 00025089

Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$ . Найдите длину отрезка $KP$ , если $AP=30$ , а сторона $BC$ в $1{,}2$ раза меньше стороны $AB$ .

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

💡 Идея. Точки $K$ , $B$ , $C$ , $P$ лежат на одной окружности — это даст равные углы и подобные треугольники, в которых неизвестная $AB$ сократится сама.

Четырёхугольник $KBCP$ вписан в окружность. Правило: у вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна $180^\circ$ , поэтому $\angle PKB=180^\circ-\angle BCP$ .

Но угол $AKP$ — смежный с углом $PKB$ , значит, тоже дополняет его до $180^\circ$ :

$\angle AKP=180^\circ-\angle PKB=\angle BCP=\angle BCA.$

Сравниваем треугольники $AKP$ и $ACB$ : угол $A$ у них общий, а $\angle AKP=\angle ACB$ — подобие по двум углам (вершине $K$ отвечает $C$ , вершине $P$ отвечает $B$ ).

Записываем отношение сходственных сторон:

$\dfrac{KP}{CB}=\dfrac{AP}{AB}.$

Отсюда $KP=CB\cdot\dfrac{AP}{AB}$ . По условию $BC$ в $1{,}2$ раза меньше $AB$ , то есть $CB=\dfrac{AB}{1{,}2}$ . Подставляем:

$KP=\dfrac{AB}{1{,}2}\cdot\dfrac{30}{AB}=\dfrac{30}{1{,}2}=25.$

Обрати внимание: сторона $AB$ сократилась — её значение и не требовалось.

Отрезок $KP$ равен $25$ .

Ответ