Окружности — Задание 23 ОГЭ по математике №00045896

Три вершины треугольника лежат на окружности и режут её на три дуги. Длины дуг даны отношением, а нам нужен радиус. Мостик между дугами и сторонами — углы: центральные и вписанные.

Правило: у дуг одной окружности длина пропорциональна градусной мере. Поэтому градусные меры дуг относятся так же, как $3:5:16$. Всего частей $3+5+16=24$, а вся окружность — это $360^\circ$. Одна часть:

$$360^\circ:24=15^\circ.$$

Дуги равны $3\cdot15^\circ=45^\circ$, $5\cdot15^\circ=75^\circ$ и $16\cdot15^\circ=240^\circ$.

Какая сторона бо́льшая? Каждый угол треугольника вписанный и равен половине дуги, которая лежит напротив его вершины. Углы треугольника: $45^\circ:2=22{,}5^\circ$, $75^\circ:2=37{,}5^\circ$ и $240^\circ:2=120^\circ$. Против большего угла лежит бо́льшая сторона, значит, бо́льшая сторона — та, что лежит против угла $120^\circ$. Её концы делят окружность на дугу $240^\circ$ и дугу $45^\circ+75^\circ=120^\circ$.

Обозначим эту сторону $AB=12$, а центр окружности — $O$. Соединим $O$ с точками $A$ и $B$: $OA=OB=R$, поэтому треугольник $AOB$ равнобедренный. Его угол при вершине $O$ — центральный угол, опирающийся на меньшую дугу $AB$, значит, $\angle AOB=120^\circ$.

Опустим из $O$ высоту $OH$ на сторону $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является ещё и медианой, и биссектрисой. Поэтому $AH=12:2=6$ и $\angle AOH=120^\circ:2=60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $AOH$ катет $AH$ лежит против угла $60^\circ$, а гипотенуза — радиус $OA$. Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$$\sin 60^\circ=\dfrac{AH}{OA},\qquad \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{6}{R},\qquad R=\dfrac{12}{\sqrt{3}}=\dfrac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}.$$

Радиус окружности равен $4\sqrt{3}$.

Проверим себя другим способом — теоремой синусов: сторона, делённая на синус противолежащего угла, равна $2R$. Синус $120^\circ$ равен синусу $60^\circ$, то есть $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда $2R=12:\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{24}{\sqrt{3}}=8\sqrt{3}$, и $R=4\sqrt{3}$ — сходится. И прикидка: $4\sqrt{3}\approx 6{,}9$, диаметр около $13{,}9$, так что хорда $12$ его не превышает, как и должно быть.