Окружности — Задание 23 ОГЭ по математике №00045897

Вершины треугольника делят окружность на три дуги в отношении $4:5:7$. Нужно найти радиус, зная меньшую сторону. Свяжем сторону с углом треугольника, а угол — с дугой.

Правило: длина дуги пропорциональна её градусной мере, поэтому градусные меры дуг тоже относятся как $4:5:7$. Частей всего $4+5+7=16$, на одну часть приходится

$$360^\circ:16=22{,}5^\circ.$$

Дуги равны $4\cdot22{,}5^\circ=90^\circ$, $5\cdot22{,}5^\circ=112{,}5^\circ$ и $7\cdot22{,}5^\circ=157{,}5^\circ$.

Правило: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Каждый угол треугольника опирается на дугу, лежащую напротив его вершины. Углы треугольника: $90^\circ:2=45^\circ$, $112{,}5^\circ:2=56{,}25^\circ$ и $157{,}5^\circ:2=78{,}75^\circ$. Сумма $45^\circ+56{,}25^\circ+78{,}75^\circ=180^\circ$ — всё верно.

Против меньшего угла лежит меньшая сторона. Назовём треугольник $ABC$ так, что $\angle C=45^\circ$; тогда меньшая сторона $AB=18$.

Проведём через вершину $A$ диаметр $AK$ и соединим $K$ с $B$. Угол $ABK$ опирается на диаметр, а вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой: $\angle ABK=90^\circ$.

Дуга $AB$, не содержащая точку $C$, равна $90^\circ$ — она меньше полуокружности, поэтому точка $K$ (второй конец диаметра) на ней не лежит. Значит, вписанные углы $AKB$ и $ACB$ опираются на одну и ту же дугу $AB$ и равны: $\angle AKB=45^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $ABK$ гипотенуза — диаметр $AK=2R$, а катет $AB=18$ лежит против угла $45^\circ$:

$$\sin45^\circ=\dfrac{AB}{AK},\qquad \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{18}{2R},\qquad 2R=\dfrac{36}{\sqrt{2}}=18\sqrt{2},\qquad R=9\sqrt{2}.$$

Радиус окружности равен $9\sqrt{2}$.

Проверим себя через центральный угол. Сторона $AB$ стягивает дугу $90^\circ$, значит, центральный угол $AOB$ прямой, и треугольник $AOB$ прямоугольный с катетами $OA=OB=R$. По теореме Пифагора $R^{2}+R^{2}=18^{2}$, то есть $2R^{2}=324$, $R^{2}=162$ и $R=\sqrt{162}=\sqrt{81\cdot 2}=9\sqrt{2}$ — то же самое.