Окружности — Задание 23 ОГЭ по математике №00044076

💡 Идея. Перпендикуляр из центра окружности к хорде делит её пополам. Получается прямоугольный треугольник «половина хорды — расстояние до хорды — радиус». У обеих хорд радиус общий — через него одна хорда связывается с другой.

Почему перпендикуляр делит хорду пополам: центр $O$ и концы хорды образуют равнобедренный треугольник (две стороны — радиусы), а высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является и медианой.

Хорда $CD$. Половина хорды равна $\dfrac{28}{2}=14$, расстояние от центра равно $12$. По теореме Пифагора квадрат радиуса:

$$R^{2}=14^{2}+12^{2}=196+144=340.$$

Сам радиус извлекать не нужно — дальше работает только $R^{2}$.

Хорда $AB$. Расстояние от центра до неё равно $14$, радиус тот же. Половина хорды — неизвестный катет:

$$\left(\dfrac{AB}{2}\right)^{2}=R^{2}-14^{2}=340-196=144,\qquad \dfrac{AB}{2}=12.$$

Вся хорда вдвое длиннее: $AB=2\cdot 12=24$.

Внимание на числа: здесь $14$ встречается дважды — как половина $CD$ и как расстояние до $AB$. Это разные отрезки, и в двух треугольниках они играют разные роли.

Проверим себя: хорда $AB$ дальше от центра ($14\gt 12$), значит, она должна быть короче $CD$. И правда, $24\lt 28$.