Задание 23 ОГЭ по математике: Две соседние вершины квадрата лежат на окружности, а две другие…

💡 Идея. Квадрат стоит на диаметре симметрично, поэтому от центра до верхней вершины легко «дойти» по двум катетам: половина стороны вбок и целая сторона вверх. Дальше — теорема Пифагора.

Обозначим сторону квадрата a, центр окружности — O, радиус R=3{,}5.

Пусть вершины A и B лежат на диаметре, а соседние с ними D и C — на окружности; тогда AB и DC — противоположные стороны квадрата, и DC параллельна диаметру.

Точки C и D лежат на окружности и одинаково удалены от прямой диаметра — обе на расстоянии a. Правило: точки окружности, равноудалённые от диаметра, симметричны относительно перпендикулярного диаметра, который проходит через центр.

Значит, ось симметрии квадрата проходит через центр O, и по горизонтали от O до каждой из точек C, D ровно половина стороны — \dfrac{a}{2}.

Отрезок OC — радиус. Достроим прямоугольный треугольник с катетами \dfrac{a}{2} и a и гипотенузой OC=R:

\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2}+a^{2}=R^{2}.

Приводим левую часть к общему знаменателю: \dfrac{a^{2}}{4}+a^{2}=\dfrac{5a^{2}}{4}. Тогда

\dfrac{5a^{2}}{4}=3{,}5^{2}=12{,}25.

Площадь квадрата — это как раз a^{2}, поэтому её можно найти, не вычисляя саму сторону:

a^{2}=\dfrac{4\cdot 12{,}25}{5}=\dfrac{49}{5}=9{,}8.

Проверка себя: тогда a=\sqrt{9{,}8}\approx 3{,}13, половина стороны \approx 1{,}56, и \sqrt{1{,}56^{2}+3{,}13^{2}}\approx\sqrt{2{,}43+9{,}80}\approx 3{,}5 — радиус сошёлся.