Окружности — Задание 23 ОГЭ по математике №00025108

💡 Идея. Квадрат стоит на диаметре симметрично, поэтому от центра до верхней вершины легко «дойти» по двум катетам: половина стороны вбок и целая сторона вверх. Дальше — теорема Пифагора.

Обозначим сторону квадрата $a$, центр окружности — $O$, радиус $R=3{,}5$.

Пусть вершины $A$ и $B$ лежат на диаметре, а соседние с ними $D$ и $C$ — на окружности; тогда $AB$ и $DC$ — противоположные стороны квадрата, и $DC$ параллельна диаметру.

Точки $C$ и $D$ лежат на окружности и одинаково удалены от прямой диаметра — обе на расстоянии $a$. Правило: точки окружности, равноудалённые от диаметра, симметричны относительно перпендикулярного диаметра, который проходит через центр.

Значит, ось симметрии квадрата проходит через центр $O$, и по горизонтали от $O$ до каждой из точек $C$, $D$ ровно половина стороны — $\dfrac{a}{2}$.

Отрезок $OC$ — радиус. Достроим прямоугольный треугольник с катетами $\dfrac{a}{2}$ и $a$ и гипотенузой $OC=R$:

$$\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2}+a^{2}=R^{2}.$$

Приводим левую часть к общему знаменателю: $\dfrac{a^{2}}{4}+a^{2}=\dfrac{5a^{2}}{4}$. Тогда

$$\dfrac{5a^{2}}{4}=3{,}5^{2}=12{,}25.$$

Площадь квадрата — это как раз $a^{2}$, поэтому её можно найти, не вычисляя саму сторону:

$$a^{2}=\dfrac{4\cdot 12{,}25}{5}=\dfrac{49}{5}=9{,}8.$$

Проверка себя: тогда $a=\sqrt{9{,}8}\approx 3{,}13$, половина стороны $\approx 1{,}56$, и $\sqrt{1{,}56^{2}+3{,}13^{2}}\approx\sqrt{2{,}43+9{,}80}\approx 3{,}5$ — радиус сошёлся.