Окружности — Задание 23 ОГЭ по математике №00045902

В окружности две хорды, и для каждой известно расстояние от центра. Ключ к таким задачам — прямоугольный треугольник «половина хорды — расстояние до хорды — радиус». Радиус у окружности один, через него и свяжем две хорды.

Пусть $O$ — центр. Проведём радиусы $OA$ и $OB$. Треугольник $AOB$ равнобедренный, ведь $OA=OB$, а расстояние от $O$ до $AB$ — это перпендикуляр $OH$ к $AB$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является и медианой, поэтому $H$ — середина $AB$: $AH=50:2=25$.

Из прямоугольного треугольника $AOH$ по теореме Пифагора найдём квадрат радиуса:

$$R^{2}=AH^{2}+OH^{2}=25^{2}+60^{2}=625+3600=4225.$$

Теперь хорда $CD$. Опустим перпендикуляр $OK$ на $CD$; по тому же свойству $K$ — середина $CD$, а $OK=52$. В прямоугольном треугольнике $COK$ гипотенуза — радиус $OC$, поэтому

$$CK^{2}=R^{2}-OK^{2}=4225-52^{2}=4225-2704=1521.$$

Так как $39^{2}=1521$, получаем $CK=39$. Вся хорда вдвое длиннее своей половины:

$$CD=2\cdot39=78.$$

Длина хорды $CD$ равна $78$.

Проверим себя: $R=\sqrt{4225}=65$. Для хорды $CD$: $39^{2}+52^{2}=1521+2704=4225=65^{2}$ — тот же радиус. И по смыслу: хорда $CD$ ближе к центру ($52\lt60$), поэтому она длиннее хорды $AB$: $78\gt50$.