Треугольники — Задание 23 ОГЭ по математике №00045901

Даны катет $7\sqrt{2}$ и гипотенуза $10$, нужна высота к гипотенузе. Сначала найдём второй катет, а затем саму высоту — через подобные треугольники.

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, поэтому квадрат неизвестного катета — это разность:

$$b^{2}=10^{2}-(7\sqrt{2})^{2}=100-49\cdot2=100-98=2,\qquad b=\sqrt{2}.$$

Назовём треугольник $ABC$ с прямым углом $C$: $AC=7\sqrt{2}$, $BC=\sqrt{2}$, $AB=10$, а $CH$ — высота к гипотенузе.

Высота отрезает прямоугольный треугольник $ACH$ с прямым углом при $H$. У него с треугольником $ABC$ общий острый угол $A$, значит, треугольники $ACH$ и $ABC$ подобны по двум углам.

В треугольнике $ACH$ против угла $A$ лежит $CH$, а гипотенуза — $AC$. В треугольнике $ABC$ против угла $A$ лежит $BC$, а гипотенуза — $AB$. Отношения соответственных сторон равны:

$$\dfrac{CH}{AC}=\dfrac{BC}{AB},\qquad CH=\dfrac{AC\cdot BC}{AB}=\dfrac{7\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{10}=\dfrac{7\cdot2}{10}=1{,}4.$$

Высота, проведённая к гипотенузе, равна $1{,}4$.

Проверим себя через площадь: половина произведения катетов $\dfrac{1}{2}\cdot7\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=7$, а половина произведения гипотенузы на высоту $\dfrac{1}{2}\cdot10\cdot1{,}4=7$ — совпало. И высота $1{,}4$ короче меньшего катета $\sqrt{2}\approx1{,}41$, как и должно быть.