Треугольники — Задание 23 ОГЭ по математике №00039061

Пусть $P$ — точка пересечения биссектрисы $BE$ и медианы $AD$. По условию $BE\perp AD$ и $BE=AD=8$.

Шаг 1. Равнобедренный треугольник. В треугольнике $ABD$ отрезок $BP$ является частью биссектрисы угла $B$ и одновременно высотой (он перпендикулярен $AD$). Значит треугольник $ABD$ равнобедренный: $AB=BD$, а точка $P$ — середина $AD$, поэтому $AP=PD=8:2=4$.

Шаг 2. Связь сторон. $AD$ — медиана, поэтому $D$ — середина $BC$, откуда $BC=2BD=2AB$.

Шаг 3. Координаты. Возьмём $P(0;0)$, ось $Ox$ вдоль $AD$, ось $Oy$ вдоль $BE$: $A(-4;0)$, $D(4;0)$, $B(0;h)$, где $h=BP$, и $C(8;-h)$ (так как $D$ — середина $BC$).

Шаг 4. Находим $h$. Точка $E$ — пересечение прямой $AC$ с осью $Oy$. От $A(-4;0)$ до $C(8;-h)$ абсцисса меняется на $12$, а до оси $Oy$ проходим $4$ — треть пути, значит $E\left(0;-\dfrac{h}{3}\right)$ и $BE=h+\dfrac{h}{3}=\dfrac{4h}{3}$.

Из $\dfrac{4h}{3}=8$ получаем $h=6$.

Шаг 5. Стороны.

• $AB=\sqrt{4^{2}+6^{2}}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$;
• $BC=2AB=4\sqrt{13}$;
• $AC=\sqrt{12^{2}+6^{2}}=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$.