Треугольники — Задание 23 ОГЭ по математике №00039055

Пусть $P$ — точка пересечения биссектрисы $BE$ и медианы $AD$. По условию $BE\perp AD$ и $BE=AD=12$.

Шаг 1. Равнобедренность. В треугольнике $ABD$ отрезок $BP$ лежит на биссектрисе угла $B$ и одновременно перпендикулярен $AD$, то есть является высотой. Значит, треугольник $ABD$ равнобедренный: $AB=BD$, а точка $P$ — середина $AD$, поэтому $AP=PD=12:2=6$.

Шаг 2. Связь сторон. $AD$ — медиана, поэтому $D$ — середина $BC$, откуда $BC=2BD=2AB$.

Шаг 3. Координаты. Возьмём $P$ за начало координат: $A(-6;0)$, $D(6;0)$, $B(0;h)$, где $h=BP$. Из того, что $D$ — середина $BC$, получаем $C(12;-h)$.

Шаг 4. Находим $h$. Точка $E$ лежит на прямой $AC$ и на оси $Oy$. От $A(-6;0)$ до $C(12;-h)$ абсцисса меняется на $18$, а до оси $Oy$ проходим $6$ — треть пути, значит $E\left(0;-\dfrac{h}{3}\right)$ и $BE=\dfrac{4h}{3}$.

Из $\dfrac{4h}{3}=12$ получаем $h=9$.

Шаг 5. Стороны.

• $AB=\sqrt{6^{2}+9^{2}}=\sqrt{36+81}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}$;
• $BC=2AB=6\sqrt{13}$;
• $AC=\sqrt{18^{2}+9^{2}}=\sqrt{324+81}=\sqrt{405}=9\sqrt{5}$.