Треугольники — Задание 23 ОГЭ по математике №00045898

Отрезки $AB$ и $CD$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Получаются «песочные часы» — два треугольника $MAB$ и $MCD$ с общей вершиной $M$. Найдём, в каком отношении точка $M$ делит отрезок $AC$.

Сравним углы этих треугольников. Углы $AMB$ и $CMD$ вертикальные, поэтому они равны.

Углы $MAB$ и $MCD$ — это углы $CAB$ и $ACD$. Они накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$, значит, тоже равны.

Правило: если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны. Значит, $\triangle MAB\sim\triangle MCD$, причём вершине $A$ соответствует $C$, вершине $B$ — $D$, а $M$ — сама себе.

У подобных треугольников соответственные стороны пропорциональны:

$$\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}.$$

Точка $M$ лежит на отрезке $AC$, поэтому $MA+MC=AC=20$. Пусть $MC=x$, тогда $MA=20-x$, и

$$\dfrac{20-x}{x}=\dfrac{3}{5},\qquad 5(20-x)=3x,\qquad 100-5x=3x,\qquad 8x=100,\qquad x=12{,}5.$$

Значит, $MC=12{,}5$.

Проверим себя: $MA=20-12{,}5=7{,}5$, и $\dfrac{7{,}5}{12{,}5}=\dfrac{75}{125}=\dfrac{3}{5}$ — ровно как $\dfrac{9}{15}$. И по смыслу всё верно: $MC$ прилегает к более длинному отрезку $CD$, поэтому он длиннее, чем $MA$.