Треугольники — Задание 23 ОГЭ по математике №00039057

Обозначим через $P$ точку пересечения биссектрисы $BE$ и медианы $AD$; по условию $BE\perp AD$ и $BE=AD=16$.

Шаг 1. Треугольник $ABD$ равнобедренный. Отрезок $BP$ в треугольнике $ABD$ является биссектрисой угла $ABD$ и высотой к стороне $AD$ одновременно. Значит, треугольник равнобедренный: $AB=BD$, а $P$ — середина $AD$, поэтому $AP=PD=16:2=8$.

Шаг 2. Связь сторон. Так как $AD$ — медиана, точка $D$ — середина $BC$, откуда $BC=2BD=2AB$.

Шаг 3. Координаты. Пусть $P(0;0)$, ось $Ox$ идёт вдоль $AD$, ось $Oy$ — вдоль $BE$. Тогда $A(-8;0)$, $D(8;0)$, $B(0;h)$, где $h=BP$, и $C(16;-h)$.

Шаг 4. Находим $h$. Точка $E$ — пересечение прямой $AC$ с осью $Oy$. От $A(-8;0)$ до $C(16;-h)$ абсцисса меняется на $24$, а до оси $Oy$ надо пройти $8$, то есть треть пути; значит $E\left(0;-\dfrac{h}{3}\right)$ и $BE=h+\dfrac{h}{3}=\dfrac{4h}{3}$.

Из $\dfrac{4h}{3}=16$ следует $h=12$.

Шаг 5. Стороны.

• $AB=\sqrt{8^{2}+12^{2}}=\sqrt{64+144}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}$;
• $BC=2AB=8\sqrt{13}$;
• $AC=\sqrt{24^{2}+12^{2}}=\sqrt{576+144}=\sqrt{720}=12\sqrt{5}$.