Треугольники — Задание 23 ОГЭ по математике №00039063

Пусть $P$ — точка пересечения биссектрисы $BE$ и медианы $AD$. По условию они перпендикулярны и $BE=AD=44$.

Шаг 1. Треугольник $ABD$ равнобедренный. В треугольнике $ABD$ отрезок $BP$ делит угол $ABD$ пополам и одновременно перпендикулярен стороне $AD$, то есть является высотой. Треугольник, у которого биссектриса и высота из одной вершины совпадают, равнобедренный, поэтому $AB=BD$, а $P$ — середина $AD$: $AP=PD=44:2=22$.

Шаг 2. Связь сторон. Так как $AD$ — медиана, точка $D$ — середина $BC$, откуда $BC=2BD=2AB$.

Шаг 3. Координаты. Пусть $P(0;0)$, ось $Ox$ вдоль $AD$, ось $Oy$ вдоль $BE$. Тогда $A(-22;0)$, $D(22;0)$, $B(0;h)$, где $h=BP$, и $C(44;-h)$.

Шаг 4. Находим $h$. Точка $E$ — пересечение прямой $AC$ с осью $Oy$. От $A(-22;0)$ до $C(44;-h)$ абсцисса меняется на $66$, а до оси $Oy$ нужно пройти $22$ — треть пути, поэтому $E\left(0;-\dfrac{h}{3}\right)$ и

$BE=h+\dfrac{h}{3}=\dfrac{4h}{3}=44$, откуда $h=33$.

Шаг 5. Стороны.

• $AB=\sqrt{22^{2}+33^{2}}=\sqrt{484+1089}=\sqrt{1573}=11\sqrt{13}$;
• $BC=2AB=22\sqrt{13}$;
• $AC=\sqrt{66^{2}+33^{2}}=\sqrt{4356+1089}=\sqrt{5445}=33\sqrt{5}$.