Треугольники — Задание 23 ОГЭ по математике №00044073

💡 Идея. Прямая, параллельная стороне треугольника, отрезает от него маленький треугольник, подобный большому. Отношение $MN:AC$ — это коэффициент подобия, и он же связывает $BN$ со всей стороной $BC$.

Треугольники $MBN$ и $ABC$ подобны по двум углам: угол $B$ у них общий, а $\angle BNM=\angle BCA$ как соответственные при параллельных $MN$ и $AC$ и секущей $BC$.

Коэффициент подобия равен отношению параллельных сторон:

$$\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{20}{28}=\dfrac{5}{7}.$$

Сторона $BN$ маленького треугольника соответствует стороне $BC$ большого — всей стороне, а не отрезку $NC$. Поэтому $\dfrac{BN}{BC}=\dfrac57$.

Обозначим $BN=x$. Точка $N$ лежит на стороне $BC$, поэтому $BC=BN+NC=x+12$. Получаем уравнение:

$$\dfrac{x}{x+12}=\dfrac57.$$

Перемножим «крест-накрест»: $7x=5(x+12)$, то есть $7x=5x+60$. Переносим: $2x=60$, $x=30$.

Значит, $BN=30$.

Проверим себя другим путём. Проведём через $N$ прямую, параллельную $AB$, до точки $P$ на $AC$. Тогда $AMNP$ — параллелограмм, $AP=MN=20$ и $PC=28-20=8$. Треугольник $NPC$ подобен треугольнику $BAC$, поэтому $\dfrac{NC}{BC}=\dfrac{PC}{AC}=\dfrac{8}{28}=\dfrac27$. Отсюда $BC=12\cdot\dfrac72=42$ и $BN=42-12=30$ — то же самое.