Треугольники — Задание 23 ОГЭ по математике №00045900

Дан прямоугольный треугольник с катетами $\sqrt{6}$ и $12$, нужна высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу. Самый короткий путь — через площадь: одну и ту же площадь посчитаем двумя способами.

Сначала гипотенуза. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$$c^{2}=(\sqrt{6})^{2}+12^{2}=6+144=150.$$

Разложим $150=25\cdot6$, тогда $c=\sqrt{25\cdot6}=5\sqrt{6}$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов — ведь один катет служит высотой, опущенной на другой:

$$S=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{6}\cdot12=6\sqrt{6}.$$

Та же площадь равна половине произведения гипотенузы на проведённую к ней высоту $h$:

$$S=\dfrac{1}{2}\cdot c\cdot h=\dfrac{1}{2}\cdot5\sqrt{6}\cdot h.$$

Приравняем: $\dfrac{5\sqrt{6}}{2}\,h=6\sqrt{6}$. Разделим обе части на $\sqrt{6}$: $\dfrac{5}{2}\,h=6$, откуда $h=6\cdot\dfrac{2}{5}=\dfrac{12}{5}=2{,}4$.

Высота, проведённая к гипотенузе, равна $2{,}4$.

Проверим себя вторым способом. Высота делит гипотенузу на проекции катетов, и каждая проекция равна квадрату катета, делённому на гипотенузу: $\dfrac{6}{5\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{6}}{5}$ и $\dfrac{144}{5\sqrt{6}}=\dfrac{24\sqrt{6}}{5}$. Высота — среднее геометрическое проекций: $h^{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{5}\cdot\dfrac{24\sqrt{6}}{5}=\dfrac{144}{25}$, то есть $h=\dfrac{12}{5}=2{,}4$. Сходится. И по смыслу: высота $2{,}4$ короче меньшего катета $\sqrt{6}\approx2{,}45$.