Треугольники — Задание 23 ОГЭ по математике №00045899

Здесь получаются «песочные часы»: отрезки $AB$ и $CD$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ перекрещиваются в точке $M$. Треугольники $AMB$ и $CMD$ подобны — докажем это и найдём, как точка $M$ делит отрезок $AC$.

Углы $AMB$ и $CMD$ вертикальные, значит, равны.

Углы $ABM$ и $CDM$ — это углы $ABD$ и $CDB$. Они накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$, поэтому тоже равны.

По двум углам $\triangle AMB\sim\triangle CMD$, причём $A\to C$, $M\to M$, $B\to D$.

Соответственные стороны пропорциональны:

$$\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{14}{16}=\dfrac{7}{8}.$$

Будем считать частями. Отрезок $MA$ составляет $7$ равных частей, а $MC$ — $8$ таких же частей. Вместе они дают весь отрезок $AC$, то есть $7+8=15$ частей, и это $21$. Одна часть:

$$21:15=1{,}4.$$

Тогда

$$MC=8\cdot1{,}4=11{,}2.$$

Значит, $MC=11{,}2$.

Проверим себя: $MA=7\cdot1{,}4=9{,}8$, и $9{,}8+11{,}2=21=AC$. Отношение $\dfrac{9{,}8}{11{,}2}=\dfrac{98}{112}=\dfrac{7}{8}=\dfrac{14}{16}$ — сходится. Точка $M$ оказалась ближе к более короткому отрезку $AB$, как и должно быть.