Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00045895

Формула содержит модуль, значит, график склеивается из кусков. Раскрывать модуль будем по знаку выражения под ним. И сразу отметим: из-за дроби $\dfrac1x$ значение $x=0$ запрещено.

Под модулем стоит $x^2+\dfrac1x$. Запишем его одной дробью: $x^2+\dfrac1x=\dfrac{x^3+1}{x}$. Числитель равен нулю при $x^3=-1$, то есть при $x=-1$; знаменатель — при $x=0$.

Знаки дроби. При $x\gt 0$ числитель и знаменатель положительны — дробь положительна. При $-1\lt x\lt 0$ числитель положителен (ведь $x^3\gt -1$), а знаменатель отрицателен — дробь отрицательна. При $x\lt -1$ оба отрицательны — дробь положительна. При $x=-1$ дробь равна нулю.

Случай 1: $x\le -1$ или $x\gt 0$. Выражение под модулем неотрицательно, модуль снимаем без изменений:

$$y=x^2-\dfrac1x-x^2-\dfrac1x+2=2-\dfrac2x.$$

Случай 2: $-1\lt x\lt 0$. Под модулем отрицательное число, поэтому $\left|x^2+\dfrac1x\right|=-x^2-\dfrac1x$, и минус перед модулем превращает его в $+x^2+\dfrac1x$:

$$y=x^2-\dfrac1x+x^2+\dfrac1x+2=2x^2+2.$$

Строим куски. Формула $y=2-\dfrac2x$ — это гипербола $y=-\dfrac2x$, поднятая на $2$ вверх, а прямая $y=2$ — её асимптота.

Ветвь при $x\gt 0$: при $x=\dfrac12$ $y=-2$, при $x=1$ $y=0$, при $x=2$ $y=1$. Эта ветвь лежит ниже асимптоты, её значения $y\lt 2$.

Ветвь при $x\le -1$: при $x=-1$ $y=2+2=4$, точка $(-1;4)$ закрашена; при $x=-2$ $y=3$; при $x=-4$ $y=2{,}5$. Эта ветвь лежит выше асимптоты и опускается к ней при движении влево, её значения $2\lt y\le 4$.

Кусок параболы $y=2x^2+2$ при $-1\lt x\lt 0$: при $x=-1$ было бы $2+2=4$ — та же точка $(-1;4)$, так что график не рвётся; при $x=-0{,}5$ $y=2{,}5$; когда $x$ приближается к $0$, значения подходят к $2$, но точка $(0;2)$ выколота. Значения куска $2\lt y\lt 4$.

Двигаем горизонталь $y=m$:

при $m\lt 2$ — одна точка на правой ветви гиперболы;

при $m=2$ — ни одной: это асимптота, а точка $(0;2)$ выколота;

при $2\lt m\lt 4$ — одна точка на куске параболы и одна на левой ветви: две точки;

при $m=4$ — только точка $(-1;4)$: одна;

при $m\gt 4$ — ни одной.

Ровно две общие точки получаются при $2\lt m\lt 4$.

Проверим себя на уровне $m=3$. Парабола: $2x^2+2=3$, $x^2=0{,}5$, $x=-\sqrt{0{,}5}\approx-0{,}71$ — лежит в $(-1;0)$. Гипербола: $2-\dfrac2x=3$, $x=-2\le -1$ — подходит. Правая ветвь ниже $2$, там точки нет. Две точки — верно.

И проверим само упрощение подстановкой $x=-2$ в исходную формулу: $4-\dfrac{1}{-2}-\left|4+\dfrac{1}{-2}\right|+2=4+0{,}5-3{,}5+2=3$, а по упрощённой $2-\dfrac{2}{-2}=3$ — совпало.