Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00045889

В формуле стоит дробь, которую можно сократить. После сокращения график станет гиперболой, но нужно аккуратно запомнить, какие точки при этом потерялись.

Разложим знаменатель: $x^{2}+3x=x(x+3)$. Он равен нулю при $x=0$ и при $x=-3$ — эти значения не входят в область определения.

Четвёрку пока не трогаем, упрощаем только дробь. При $x\ne -3$ сокращаем на $x+3$:

$$\dfrac{x+3}{x(x+3)}=\dfrac{1}{x},\qquad y=4-\dfrac{1}{x},\quad x\ne 0,\ x\ne -3.$$

Это гипербола $y=-\dfrac{1}{x}$, поднятая на $4$ вверх. Составим таблицу значений: при $x=-1$ $y=4+1=5$; при $x=1$ $y=4-1=3$; при $x=-\dfrac{1}{2}$ $y=4+2=6$; при $x=\dfrac{1}{2}$ $y=4-2=2$.

При $x\lt 0$ слагаемое $-\dfrac{1}{x}$ положительно, поэтому левая ветвь целиком выше прямой $y=4$; при $x\gt 0$ оно отрицательно, и правая ветвь целиком ниже. Когда $x$ очень большой по модулю, $\dfrac{1}{x}$ почти ноль, и $y$ близок к $4$, но никогда ему не равен. Прямая $y=4$ — горизонтальная асимптота, и общих точек с графиком у неё нет.

Любое другое значение $m$ гипербола принимает ровно один раз: из $4-\dfrac{1}{x}=m$ получаем $x=\dfrac{1}{4-m}$.

Выколотая точка. Подставим $x=-3$ в упрощённую формулу: $y=4-\dfrac{1}{-3}=4+\dfrac{1}{3}=4\dfrac{1}{3}$. В исходной формуле при $x=-3$ получилось бы деление на ноль, поэтому точка $\left(-3;\ 4\dfrac{1}{3}\right)$ выколота. Она лежит выше асимптоты — на левой ветви, как и положено при $x\lt 0$.

Значение $4\dfrac{1}{3}$ могло получиться только при $x=-3$, а эта точка исключена. Поэтому прямая $y=4\dfrac{1}{3}$ тоже не имеет с графиком общих точек.

Итак, подходят $m=4$ и $m=4\dfrac{1}{3}$.

Проверим себя на уровне $m=5$: $x=\dfrac{1}{4-5}=-1$, это число разрешено, и при $x=-1$ действительно $y=5$ — общая точка есть.