Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038744

Упростим дробь. Знаменатель раскладывается: $x^{2}-2x=x(x-2)$, поэтому $$\dfrac{x-2}{x^{2}-2x}=\dfrac{x-2}{x(x-2)}=\dfrac{1}{x}.$$ Сокращать можно только там, где исходная дробь имеет смысл, а знаменатель $x(x-2)$ обращается в ноль при $x=0$ и при $x=2$. Значит область определения: $x\neq 0$, $x\neq 2$.

Получаем $y=-5-\dfrac{1}{x}$ при $x\neq 0$ и $x\neq 2$. Это гипербола $y=-\dfrac{1}{x}$, сдвинутая на $5$ вниз: горизонтальная асимптота — прямая $y=-5$, вертикальная — прямая $x=0$.

Первое «пустое» значение. Уровень $y=-5$ недостижим: равенство $-5-\dfrac{1}{x}=-5$ требовало бы $\dfrac{1}{x}=0$, а дробь $\dfrac{1}{x}$ нулём не бывает.

Второе — выколотая точка. При $x=2$ формула дала бы $y=-5-\dfrac{1}{2}=-5,5$. Но $x=2$ запрещён, значит точка $(2;-5,5)$ на графике выколота.

Осталось проверить, что $-5,5$ больше нигде не достигается. Уравнение $-5-\dfrac{1}{x}=m$ при $m\neq -5$ равносильно $\dfrac{1}{x}=-5-m$, откуда $x=\dfrac{1}{-5-m}$ — корень ровно один. Для $m=-5,5$ это $x=\dfrac{1}{0,5}=2$, то есть единственный кандидат и был выколот.

Итог: прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек при $m=-5$ и при $m=-5,5$.