Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00045888

Сначала упростим формулу: знаменатель раскладывается на множители, и после сокращения получится знакомая гипербола — правда, с одной выколотой точкой.

Область определения: знаменатель $x^{2}-6x=x(x-6)$ равен нулю при $x=0$ и при $x=6$. Эти значения запрещены.

Сократим дробь на $x-6$ (при $x\ne 6$ этот множитель не ноль):

$$\dfrac{x-6}{x(x-6)}=\dfrac{1}{x},\qquad y=-3-\dfrac{1}{x},\quad x\ne 0,\ x\ne 6.$$

График $y=-\dfrac{1}{x}$ — гипербола с ветвями во II и IV четвертях. Слагаемое $-3$ сдвигает её на $3$ вниз. Контрольные точки: при $x=1$ $y=-4$; при $x=-1$ $y=-2$; при $x=\dfrac{1}{2}$ $y=-5$; при $x=-\dfrac{1}{2}$ $y=-1$.

Какие значения принимает $y=-3-\dfrac{1}{x}$? Дробь $\dfrac{1}{x}$ никогда не равна нулю, поэтому $y$ никогда не равен $-3$: прямая $y=-3$ — горизонтальная асимптота, график к ней приближается, но не достигает её. Любое другое значение $m$ получается ровно при одном $x$: из $-3-\dfrac{1}{x}=m$ находим $x=-\dfrac{1}{m+3}$.

Теперь выколотая точка. При $x=6$ упрощённая формула дала бы $y=-3-\dfrac{1}{6}=-3\dfrac{1}{6}$, но $x=6$ запрещено. Значит, на графике выколота точка $\left(6;\ -3\dfrac{1}{6}\right)$, и значение $-3\dfrac{1}{6}$ функция не принимает: единственный $x$, который мог бы его дать, исключён.

Итак, прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек в двух случаях: на уровне асимптоты $m=-3$ и на уровне выколотой точки $m=-3\dfrac{1}{6}$.

Проверим себя на уровне $m=0$: $x=-\dfrac{1}{0+3}=-\dfrac{1}{3}$. Это число не равно ни $0$, ни $6$, а подстановка даёт $-3-\dfrac{1}{x}=-3+3=0$, ведь $\dfrac{1}{x}=-3$. Общая точка есть, как и должно быть для обычного уровня.